Solution

(C) 6

व्याख्या: (3+√(3))(3-√(3)) = (3)² - (√(3))² = 9 - 3 = 6.

(C) एक वास्तविक संख्या

व्याख्या: सभी परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याओं के अंतर्गत आती हैं.

(A) (1)/(9)

व्याख्या: [4](81)⁻² = (81⁻²)^((1)/(4)) = 81^(-(2)/(4)) = 81^(-(1)/(2)) = (9²)^(-(1)/(2)) = 9⁻¹ = (1)/(9).

(B) (1)/(2)

व्याख्या: x = (1)/(2) रखने पर, 2((1)/(2))² + 7((1)/(2)) - 4 = (1)/(2) + (7)/(2) - 4 = 4 - 4 = 0.

(D) 6

व्याख्या: P(x) = x + 3 तथा P(-x) = -x + 3, अतः P(x) + P(-x) = (x + 3) + (-x + 3) = 6.

(D) परिभाषित नहीं

व्याख्या: शून्य बहुपद (0) की घात अपरिभाषित होती है.

(C) रेखा y=x पर

व्याख्या: चूँकि x-निर्देशांक और y-निर्देशांक दोनों समान (a = a) हैं, यह रेखा y = x पर स्थित है.

(C) (1,1)

व्याख्या: बिन्दु (1, 1) समीकरण y = x को संतुष्ट करता है (1 = 1).

(A) प्रथम चतुर्थांश

व्याख्या: धनात्मक हल होने पर दोनों निर्देशांक (x > 0, y > 0) प्रथम चतुर्थांश में होते हैं.

(C) y-अक्ष पर

व्याख्या: चूँकि भुज (x) शून्य है, अतः यह बिन्दु y-अक्ष पर स्थित है.

(D) (-,-)

व्याख्या: तृतीय चतुर्थांश में x और y दोनों निर्देशांक ऋणात्मक होते हैं.

(B) चतुर्थांश I और IV में

व्याख्या: प्रथम और चतुर्थ चतुर्थांश में x-निर्देशांक (भुज) धनात्मक होता है.

(A) 0

व्याख्या: एक बिन्दु की कोई विमा नहीं होती, अतः इसकी विमाओं की संख्या शून्य है.

(C) यूनान

व्याख्या: प्रसिद्ध दार्शनिक एवं गणितज्ञ थेल्स यूनान (Greece) के वासी थे.

(A) प्रमेय

व्याख्या: प्रमेयों (Theorems) को सिद्ध करने (उत्पत्ति) की आवश्यकता होती है, जबकि अभिगृहीत और परिभाषाएँ स्वतः सिद्ध होती हैं.

(C) 90^(°)

व्याख्या: x + x = 180^° 2x = 180^° x = 90^°.

(D) α^(°)

व्याख्या: कोटिपूरक = 90^° - (90^° - α) = 90^° - 90^° + α = α^°.

(B) 80^(°), 100^(°)

व्याख्या: अनुपात का योग = 4+5 = 9। कोण (4)/(9) × 180^° = 80^° तथा (5)/(9) × 180^° = 100^°.

(A) न्यूनकोण त्रिभुज

व्याख्या: कोण क्रमशः 60^°, 36^°, 84^° हैं। सभी कोण 90^° से छोटे हैं, अतः यह न्यूनकोण त्रिभुज है.

(D) 50^(°)

व्याख्या: बहिष्कोण दूरस्थ अंतः कोणों के योग के बराबर होता है: x + x = 100^° 2x = 100^° x = 50^°.

खण्ड 'ब' (वर्णनात्मक प्रश्न) - हल

हरों को समान करने पर: (1)/(4) = (5)/(20) तथा (1)/(5) = (4)/(20)।

अधिक संख्याएँ प्राप्त करने के लिए अंश व हर को 4 से गुणा करने पर:

(5 × 4)/(20 × 4) = (20)/(80) तथा (4 × 4)/(20 × 4) = (16)/(80)

अतः बीच की तीन परिमेय संख्याएँ (17)/(80), (18)/(80), (19)/(80) हैं।

ख) जाँच कीजिए कि -2 और 2 बहुपद x+2 के शून्यक हैं या नहीं।

हल:

माना p(x) = x + 2:

- p(2) = 2 + 2 = 4 ≠ 0 (अतः 2 शून्यक नहीं है)

- p(-2) = -2 + 2 = 0 (अतः -2 बहुपद का शून्यक है)

ग) रैखिक समीकरण y=3x+5 के कितने हल सम्भव हैं ?

हल:

एक रैखिक समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक (infinite) हल संभव होते हैं।

घ) 70^(°) का सम्पूरक कोण ज्ञात कीजिए।

हल:

सम्पूरक कोण = 180^° - 70^° = 110^°.

ङ) बहुपद x⁴-16 के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।

हल:

x⁴ - 16 = (x²)² - (4)² = (x² - 4)(x² + 4) = (x - 2)(x + 2)(x² + 4).

च) 2 और √(3) के मध्य एक परिमेय तथा एक अपरिमेय संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

- परिमेय संख्या: 2 + √(3)2 (या कोई अन्य परिमेय संख्या जैसे 1.8)

- अपरिमेय संख्या: 2 × √(3) या 1.515115111...

दिया है a = 2 + √(3)।

(1)/(a) = 12 + √(3) = 2 - √(3)(2 + √(3))(2 - √(3)) = 2 - √(3)

अतः a - (1)/(a) = (2 + √(3)) - (2 - √(3)) = 2 + √(3) - 2 + √(3) = 2√(3).

ख) 27a³+54a²b+36ab²+8b³ के गुणनखण्ड कीजिए।

हल:

= (3a)³ + 3(3a)²(2b) + 3(3a)(2b)² + (2b)³

सर्वसमिका (X+Y)³ = X³ + 3X²Y + 3XY² + Y³ से:

= (3a + 2b)³ = (3a + 2b)(3a + 2b)(3a + 2b).

ग) रैखिक समीकरण 2x+5y=19 के आलेख पर वह बिन्दु निर्धारित कीजिए जिसकी कोटि अपने भुज की 1(1)/(2) गुनी है।

हल:

माना भुज = x, तो कोटि y = (3)/(2)x।

समीकरण में रखने पर:

2x + 5((3)/(2)x) = 19 2x + (15)/(2)x = 19 (4x + 15x)/(2) = 19 19x = 38 x = 2

अतः y = (3)/(2)(2) = 3। अभीष्ट बिन्दु (2, 3) है।

घ) दी गई आकृति में, x और y के मान ज्ञात कीजिए फिर दर्शाइए कि AB CD है।

हल:

(शीर्षाभिमुख और रैखिक युग्म के नियमों का प्रयोग करते हुए x और y के मान निकाले जाते हैं तथा एकांतर कोण बराबर होने पर AB CD सिद्ध किया जाता है।)

सर्वसमिका से: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

मान रखने पर:

(9)² = a² + b² + c² + 2(26)

81 = a² + b² + c² + 52

a² + b² + c² = 81 - 52 = 29.

ख) 3√(5)+√(3)√(5)-√(3) के हर का परिमेयकरण कर इसे तुल्य व्यंजक में परिवर्तित कीजिए।

हल:

हर के संयुग्मी (√(5) + √(3)) से अंश व हर में गुणा करने पर:

= (3√(5) + √(3))(√(5) + √(3))(√(5) - √(3))(√(5) + √(3))

= 3(5) + 3√(15) + √(15) + 3(√(5))² - (√(3))² = 15 + 4√(15) + 35 - 3 = 18 + 4√(15)2 = 9 + 2√(15).

ग) समीकरण 2x+1=x-3 को हल कीजिए और हल को कार्तीय तल पर निरूपित कीजिए।

हल:

2x - x = -3 - 1 x = -4।

कार्तीय तल पर यह रेखा x = -4 के रूप में y-अक्ष के समांतर एक सीधी रेखा द्वारा निरूपित किया जाता है।

घ) यदि x+y=10 तथा x=z है, तब दर्शाइए कि z+y=10

हल:

यूक्लिड की अभिधारणा (यदि बराबरों को बराबरों में जोड़ा जाए तो पूर्ण बराबर होता है / यूक्लिड का प्रथम अभिगृहीत: "वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर हों, एक-दूसरे के बराबर होती हैं"):

चूँकि x = z है, समीकरण x + y = 10 में x के स्थान पर z रखने पर z + y = 10 प्राप्त होता है (इति सिद्धम्)।

परिमेयकरण करने पर:

x = (√(3)+√(2))²3-2 = 3 + 2 + 2√(6) = 5 + 2√(6)

इसी प्रकार y = 5 - 2√(6)

अब x + y = (5 + 2√(6)) + (5 - 2√(6)) = 10

तथा xy = (5 + 2√(6))(5 - 2√(6)) = 25 - 24 = 1

अतः x² + y² = (x + y)² - 2xy = (10)² - 2(1) = 100 - 2 = 98.

ख) संलग्न आकृति में, BA ED और BC EF है। दर्शाइए कि ABC = DEF है।

हल:

(समांतर रेखाओं के संगत कोणों और गुणों का प्रयोग करके सिद्ध किया जाता है कि ABC = DEF है।)

हम जानते हैं कि:

a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) --- (1)

पहले a² + b² + c² ज्ञात करते हैं:

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

(5)² = a² + b² + c² + 2(10)

25 = a² + b² + c² + 20 a² + b² + c² = 5

अब समीकरण (1) में मान रखने पर:

a³ + b³ + c³ - 3abc = (5) [ 5 - (ab + bc + ca) ]

= 5 [ 5 - 10 ] = 5 [ -5 ] = -25 (इति सिद्धम्).

ख) यदि a और b परिमेय संख्याएँ हैं और √(11)-√(7)√(11)+√(7)=a-b√(77), तो a व b का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

बाएँ पक्ष के हर का परिमेयकरण करने पर:

= (√(11) - √(7))(√(11) - √(7))(√(11) + √(7))(√(11) - √(7)) = 11 + 7 - 2√(77)11 - 7 = 18 - 2√(77)4 = 9 - √(77)2 = (9)/(2) - (1)/(2)√(77)

तुलना करने पर:

a = (9)/(2) तथा b = (1)/(2).