Solution

(A) 19/20

(B) √(2)x² + 7

(C) 2 (या प्रश्न के अनुसार -3 विकल्प A)

(C) अपरिभाषित

(B) द्वितीय

(B) (0, y)

(C) 3

(A) 20°

(C) 180°

(C) बराबर

(A) 60°

(B) 50°

(A) बराबर

(A) समचतुर्भुज

(A) बराबर

(A) 90°

(B) 24 सेमी

(A) (4/3)π r³

(B) 15

(B) 7 (या विकल्प अनुसार 7/8)

खण्ड 'ब' (वर्णनात्मक प्रश्न)

दिए गए पद: (16)^(3/4)

16 को घातांकीय रूप में लिखने पर, 16 = 2⁴

मान रखने पर: (2⁴)^(3/4) = 2^(4 × 3/4) = 2³ = 8

अतः अंतिम उत्तर: 8

(ख) व्यंजक x² + x + 30 को (x + 3) से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

शेषफल प्रमेय द्वारा, भाजक (x + 3) = 0 से x = -3 रखने पर:

p(-3) = (-3)² + (-3) + 30

p(-3) = 9 - 3 + 30 = 36

अतः शेषफल = 36

(ग) k का मान ज्ञात कीजिए जबकि बिन्दु (k, 5) रेखा 3x + 2y = -2 पर स्थित है।

उत्तर:

बिंदु (k, 5) समीकरण 3x + 2y = -2 को संतुष्ट करेगा।

3(k) + 2(5) = -2

3k + 10 = -2

3k = -12

k = -4

अतः k का मान = -4

(घ) तीन मौलिक संकल्पनाएँ रेखागणित में कौन-कौन सी हैं?

उत्तर:

रेखागणित की तीन मुख्य मौलिक संकल्पनाएँ निम्नलिखित हैं:

1. बिन्दु (Point)

2. रेखा (Line)

3. तल या पृष्ठ (Plane / Surface)

(ङ) चित्र में x का मान ज्ञात कीजिए- (सरल रेखा पर 4x° और 2x° कोण दिए हैं)

उत्तर:

सरल रेखा पर बने आसन्न कोणों का योग 180° होता है (रैखिक युग्म)।

4x + 2x = 180°

6x = 180°

x = 30°

अतः x का मान = 30°

(च) त्रिभुज ABC में AB = AC है तथा AD लंब BC है तो सिद्ध कीजिए कि B = C

उत्तर:

त्रिभुज ABD और त्रिभुज ACD में:

1. AB = AC (दिया है)

2. ADB = ADC = 90° (AD BC)

3. AD = AD (उभयनिष्ठ भुजा)

RHS सर्वांगसमता नियम से, Δ ABD Δ ACD

अतः CPCT द्वारा, B = C (इति सिद्धम्)

समांतर चतुर्भुज ABCD के सम्मुख कोण बराबर होते हैं, अतः A = C = 55°।

पुनः समांतर चतुर्भुज AEFG में, F = A = 55°।

अतः F = 55°

(ख) सिद्ध कीजिए कि वृत्त के केन्द्र से एक जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है?

उत्तर:

वृत्त का केंद्र O है, AB जीवा है और OD AB है।

त्रिभुज ODA और ODB में:

1. ODA = ODB = 90°

2. कर्ण OA = कर्ण OB (त्रिज्याएँ)

3. OD = OD (उभयनिष्ठ)

RHS नियम से Δ ODA Δ ODB

अतः AD = DB (इति सिद्धम्)

(ग) एक शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल 308 सेमी² तथा इसकी तिर्यक ऊँचाई 14 सेमी है तो ज्ञात कीजिए-

(i) आधार की त्रिज्या

(ii) शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठ

उत्तर:

(i) वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = π r l = 308

(22/7) × r × 14 = 308 => 44r = 308 => r = 7 सेमी

(ii) संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = π r(l + r) = (22/7) × 7 × (14 + 7) = 22 × 21 = 462 सेमी²

अतः त्रिज्या = 7 सेमी, संपूर्ण पृष्ठ = 462 सेमी²

(घ) निम्न आँकड़ों का आयत चित्र बनाइए (वर्ग अंतराल: 0-10, 10-20, 20-30, 30-40, 40-50, 50-60; बारम्बारता: 3, 8, 16, 12, 6, 2)

उत्तर:

आयत चित्र बनाने के लिए क्षैतिज अक्ष (X-अक्ष) पर वर्ग अंतराल तथा ऊर्ध्वाधर अक्ष (Y-अक्ष) पर बारम्बारता को दर्शाते हैं। चूँकि वर्ग अंतराल सतत हैं, अतः परस्पर सटे हुए आयताकार स्तंभ बनाए जाते हैं।

(ङ) 1/3 तथा 2/3 के बीच चार परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

हर को समान रखते हुए अंश व हर को 5 से गुणा करने पर:

1/3 = 5/15 और 2/3 = 10/15

इसके बीच की चार परिमेय संख्याएँ: 6/15, 7/15, 8/15, 9/15 (या सरल रूप में 2/5, 7/15, 8/15, 3/5)।

माना p(x) = x³ - 4x² + x + 6

x = -1 रखने पर p(-1) = 0 प्राप्त होता है, अतः (x + 1) एक गुणनखंड है।

बहुपद को हल करने पर:

= (x + 1)(x² - 5x + 6)

= (x + 1)(x - 2)(x - 3)

अतः संपूर्ण गुणनखंड: (x + 1)(x - 2)(x - 3)

विकर्ण AC खींचिए।

त्रिभुज ABC में मध्य-बिंदु प्रमेय से, PQ AC तथा PQ = (1/2)AC।

इसी प्रकार त्रिभुज ADC में, SR AC तथा SR = (1/2)AC।

अतः PQ SR और PQ = SR, जिससे PQRS एक समांतर चतुर्भुज सिद्ध होता है। समचतुर्भुज के विकर्ण 90° पर प्रतिच्छेद करते हैं, अतः PQRS एक आयत है (इति सिद्धम्)।

(अथवा विकल्प - त्रिभुज का क्षेत्रफल):

भुजाओं का अनुपात 12:17:25 और परिमाप 540 सेमी है।

भुजाएँ: 12x, 17x, 25x => 54x = 540 => x = 10

भुजाएँ a = 120, b = 170, c = 250 सेमी। अर्ध-परिमाप s = 270 सेमी।

हीरोन के सूत्र से क्षेत्रफल = √(270(270-120)(270-170)(270-250)) = 9000√(10) सेमी²।

सरल करने पर:

x = 5 + 2√(6)

y = 5 - 2√(6)

x + y = 10, xy = 1

सर्वसमिका x² + y² = (x + y)² - 2xy का उपयोग करने पर:

= (10)² - 2(1) = 100 - 2 = 98

अतः x² + y² = 98 (इति सिद्धम्)।