Solution

(27)^(5/3) का मान है-

(A) 81 (B) 243 (C) 9 (D) 27

👉 उत्तर: (B) 243

व्याख्या: (27)^(5/3) = (3³)^(5/3) = 3⁵ = 243.

(3+√(3))(3-√(3)) का मान है-

(A) 9 (B) 6 (C) 3 (D) 12

👉 उत्तर: (B) 6

व्याख्या: (3)² - (√(3))² = 9 - 3 = 6.

अचर बहुपद की घात है-

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) अनन्त

👉 उत्तर: (A) 0

व्याख्या: किसी भी अचर बहुपद (जैसे 5) को 5x⁰ लिखा जा सकता है, अतः इसकी घात शून्य होती है.

यदि x+1 बहुपद 2x²+kx का एक गुणनखण्ड है तो k का मान है-

(A) -3 (B) 4 (C) 2 (D) -2

👉 उत्तर: (C) 2

व्याख्या: x + 1 = 0 x = -1 बहुपद में रखने पर: 2(-1)² + k(-1) = 0 2 - k = 0 k = 2.

बिन्दु (-3,5) कौन से चतुर्थांश में स्थित है-

(A) प्रथम (B) द्वितीय (C) तृतीय (D) चतुर्थ

👉 उत्तर: (B) द्वितीय

व्याख्या: चूँकि x-निर्देशांक ऋणात्मक और y-निर्देशांक धनात्मक है, यह द्वितीय चतुर्थांश में है.

मूलबिन्दु के निर्देशांक हैं-

(A) (0,0) (B) (a, a) (C) (a, 0) (D) (0, a)

👉 उत्तर: (A) (0,0)

व्याख्या: कार्तीय तल के मूलबिन्दु के निर्देशांक (0, 0) होते हैं.

रैखिक समीकरण 2x-5y=7 के-

(A) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं (B) दो हल हैं (C) कोई हल नहीं है (D) एक अद्वितीय हल है

👉 उत्तर: (A) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं

व्याख्या: दो चरों वाले रैखिक समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं.

यूक्लिड किस देश का वासी था-

(A) बेबीलोनिया (B) मिस्र (C) यूनान (D) भारत

👉 उत्तर: (C) यूनान

व्याख्या: यूक्लिड यूनान (Greece) के प्रसिद्ध गणितज्ञ थे.

ऐलीमेंट्स नामक पुस्तक में कुल साध्यों की संख्या है-

(A) 465 (B) 460 (C) 13 (D) 55

👉 उत्तर: (A) 465

व्याख्या: यूक्लिड की प्रसिद्ध पुस्तक 'ऐलीमेंट्स' में कुल 465 साध्य (प्रमेय) हैं.

120^(°) का सम्पूरक कोण है-

(A) 60^(°) (B) 30^(°) (C) 180^(°) (D) 240^(°)

👉 उत्तर: (A) 60^(°)

व्याख्या: सम्पूरक कोण = 180^(°) - 120^(°) = 60^(°).

यदि किसी त्रिभुज का एक कोण अन्य दो कोणों के योग के बराबर है तो वह त्रिभुज है एक-

(A) समद्विबाहु त्रिभुज (B) अधिक कोण त्रिभुज (C) समबाहु त्रिभुज (D) समकोण त्रिभुज

👉 उत्तर: (D) समकोण त्रिभुज

व्याख्या: यदि A = B + C, तो A + A = 180^(°) 2 A = 180^(°) A = 90^(°).

Δ ABC में AB=AC तथा B=50^(°) है तो C बराबर है-

(A) 80^(°) (B) 40^(°) (C) 50^(°) (D) 100^(°)

👉 उत्तर: (C) 50^(°)

व्याख्या: समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं, अतः C = B = 50^(°).

एक चतुर्भुज के कोणों में 3:7:6:4 का अनुपात है तो सबसे बड़ा कोण है-

(A) 54^(°) (B) 72^(°) (C) 108^(°) (D) 126^(°)

👉 उत्तर: (D) 126^(°)

व्याख्या: सबसे बड़ा कोण = (7)/(3+7+6+4) × 360^(°) = (7)/(20) × 360^(°) = 7 × 18^(°) = 126^(°).

वृत्त की सबसे बड़ी जीवा कहलाती है-

(A) त्रिज्या (B) व्यास (C) चाप (D) इनमें से कोई नहीं

👉 उत्तर: (B) व्यास

व्याख्या: वृत्त की सबसे बड़ी जीवा उसका व्यास होती है जो केन्द्र से होकर गुजरती है.

चित्र में ABC=20^(°) है तो AOC बराबर है-

(A) 10^(°) (B) 20^(°) (C) 40^(°) (D) 60^(°)

👉 उत्तर: (C) 40^(°)

व्याख्या: केन्द्र पर बना कोण परिधि पर बने कोण का दुगुना होता है: AOC = 2 × ABC = 2 × 20^(°) = 40^(°).

यदि किसी त्रिभुज की भुजाएँ a, b, c हैं तो हेरॉन के सूत्रानुसार उसका क्षेत्रफल है-

(A) 25(abc) (B) 25(a+b+c) (C) √(s(s-a)(s-b)(s-c)) (D) (1)/(2) × आधार × ऊँचाई

👉 उत्तर: (C) √(s(s-a)(s-b)(s-c))

व्याख्या: हेरॉन का सूत्र त्रिभुज के क्षेत्रफल का √(s(s-a)(s-b)(s-c)) है जहाँ s = (a+b+c)/(2).

गोले का सम्पूर्ण पृष्ठ होता है-

(A) 4π r² (B) 2π r² (C) 3π r² (D) 2π rh

👉 उत्तर: (A) 4π r²

व्याख्या: गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 4π r² होता है.

शंकु का आयतन होता है-

(A) π r²h (B) (1)/(3)π r²h (C) (4)/(3)π r³ (D) π rl

👉 उत्तर: (B) (1)/(3)π r²h

व्याख्या: लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन (1)/(3)π r² h होता है.

वर्ग अन्तराल 60-70 का मध्यमान है-

(A) 60 (B) 65 (C) 70^(°) (D) 130^(°)

👉 उत्तर: (B) 65

व्याख्या: मध्यमान = (60 + 70)/(2) = (130)/(2) = 65.

दण्ड आलेख में दण्ड की ऊँचाई किस पर निर्भर करती है-

(A) बारम्बारता पर (B) संचयी बारम्बारता पर (C) वर्ग अन्तराल पर (D) इनमें से कोई नहीं

👉 उत्तर: (A) बारम्बारता पर

व्याख्या: दण्ड आलेख (Bar Graph) में प्रत्येक दण्ड की ऊँचाई संगत वर्ग की बारम्बारता दर्शाती है.

खण्ड 'ब' (वर्णनात्मक प्रश्न) - संक्षिप्त हल

(सभी खण्ड कीजिए):

• (क) संख्या 0.6 को (p)/(q) के रूप में बदलिए:

मान लीजिए x = 0.666... समीकरण (1)

दोनों पक्षों को 10 से गुणा करने पर: 10x = 6.666... समीकरण (2)

समीकरण (2) में से (1) घटाने पर: 9x = 6 x = (6)/(9) = (2)/(3).

• (ख) गुणनखण्ड कीजिए: x²-5x-6

= x² - 6x + x - 6 = x(x - 6) + 1(x - 6) = (x - 6)(x + 1).

• (ग) यदि x=2, y=1 समीकरण 2x+3y=k का एक हल है तो k का मान ज्ञात कीजिए:

2(2) + 3(1) = k 4 + 3 = k k = 7.

• (घ) लम्ब रेखाएँ तथा समान्तर रेखाएँ परिभाषित कीजिए:

- लम्ब रेखाएँ: जब दो रेखाएँ एक-दूसरे को 90^(°) के कोण पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो वे लम्ब रेखाएँ कहलाती हैं.

- समान्तर रेखाएँ: वे दो रेखाएँ जो एक ही तल में हों और एक-दूसरे को कभी न काटें (उनके बीच की दूरी हमेशा समान रहे), समान्तर रेखाएँ कहलाती हैं.

• (ङ) चित्र द्वारा x का मान ज्ञात कीजिए:

(रैखिक युग्म या अन्य ज्यामितीय गुणों के आधार पर समीकरण हल करके x का मान निकाला जाता है।)

• (च) सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं:

(यह प्रमेय समद्विबाहु त्रिभुज के गुणों पर आधारित है, जिसे रचना करके सर्वांगसमता SAS नियम से सिद्ध किया जाता है।)

(कोई पाँच खण्ड कीजिए):

• (क) Δ ABC तथा DBC समान आधार BC पर दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं। सिद्ध कीजिए कि ABD = ACD है.

• (ख) सिद्ध कीजिए कि समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं.

• (ग) सिद्ध कीजिए कि वृत्त में किसी चाप द्वारा केन्द्र पर बना कोण शेष परिधि के किसी बिन्दु पर बने कोण का दुगुना होता है.

• (घ) उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 सेमी² है:

पृष्ठीय क्षेत्रफल S = 4π r² = 154 4 × (22)/(7) × r² = 154 r² = (154 × 7)/(4 × 22) = (7 × 7)/(4) r = (7)/(2) सेमी.

आयतन V = (4)/(3)π r³ = (4)/(3) × (22)/(7) × ((7)/(2))³ = (539)/(3) सेमी³.

• (ङ) दिए गए बारम्बारता बंटन का आयतचित्र (Histogram) बनाइए.

• (च) (1)/(3) तथा (2)/(3) के बीच चार परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए:

हर को 5 से गुणा करने पर: (1 × 5)/(3 × 5) = (5)/(15) तथा (2 × 5)/(3 × 5) = (10)/(15).

चार परिमेय संख्याएँ: (6)/(15), (7)/(15), (8)/(15), (9)/(15) (या सरल रूप में (2)/(5), (7)/(15), (8)/(15), (3)/(5)).

से 25 (दीर्घ उत्तरीय प्रश्न):

• प्रश्न 23: गुणनखण्ड कीजिए: 8x³+y³+27z³-18xyz

सर्वसमिका (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca) = a³+b³+c³-3abc का प्रयोग करने पर:

= (2x)³ + (y)³ + (3z)³ - 3(2x)(y)(3z) = (2x + y + 3z)[(2x)² + y² + (3z)² - (2x)(y) - (y)(3z) - (3z)(2x)]

= (2x + y + 3z)(4x² + y² + 9z² - 2xy - 3yz - 6zx).

• प्रश्न 24: त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 12:17:25 है और परिमाप 540 सेमी है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

भुजाएँ 12x, 17x, 25x हैं। 12x + 17x + 25x = 540 54x = 540 x = 10.

भुजाएँ: a = 120, b = 170, c = 250.

अर्धपरिमाप s = (540)/(2) = 270.

क्षेत्रफल = √(270(270-120)(270-170)(270-250)) = √(270 × 150 × 100 × 20) = 9000 सेमी².

• प्रश्न 25: शेषफल प्रमेय से गुणनखण्ड कीजिए: x³-3x²-13x+15

अचर पद 15 के गुणनखंडों ± 1, ± 3 आदि से जाँच करने पर, x = 1 रखने पर बहुपद का मान शून्य होता है, अतः (x-1) एक गुणनखण्ड है।

बहुपद को (x-1) से भाग देने या समूहीकरण करने पर अन्य गुणनखण्ड प्राप्त होते हैं: (x-1)(x-5)(x+3).