Solution

(b) जेहल

व्याख्या: पूर्णांकों के समुच्चय को 'Z' से प्रदर्शित किया जाता है, जो जर्मन भाषा के शब्द 'Zahlen' (जिसका अर्थ 'संख्या' होता है) से लिया गया है।

(c) √(7)

व्याख्या: √(7) एक पूर्ण वर्ग नहीं है, अतः यह एक अपरिमेय संख्या है, जबकि अन्य सभी को सरल करने पर परिमेय संख्याएँ प्राप्त होती हैं।

(d) 27

व्याख्या: सर्वसमिका (x+y)³ = x³ + y³ + 3xy(x+y) के अनुसार, (x+3)³ = x³ + 27 + 9x(x+3) = x³ + 27 + 9x² + 27x, अतः x का गुणांक 27 है।

(b) (x+2y)(x-2y)

व्याख्या: सूत्र a² - b² = (a+b)(a-b) का प्रयोग करने पर x² - (2y)² = (x+2y)(x-2y) प्राप्त होता है।

(d) चतुर्थ

व्याख्या: चतुर्थ चतुर्थांश में भुज (x) धनात्मक (+) और कोटि (y) ऋणात्मक (-) होती है, अतः बिन्दु (3, -5) चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित है।

(d) -4

व्याख्या: समीकरण में x = 3 और y = -2 रखने पर: 2(3) + 5(-2) = 6 - 10 = -4, अतः k = -4।

(a) प्रमेय

व्याख्या: प्रमेयों (Theorems) को सिद्ध करने के लिए तार्किक उपपत्ति (Proof) की आवश्यकता होती है, जबकि अभिगृहीत और परिभाषाएँ स्वतः सिद्ध होती हैं।

(b) यूक्लिड

व्याख्या: गणित की अत्यंत प्रसिद्ध पुस्तक 'एलीमेण्ट्स' (Elements) यूक्लिड द्वारा लिखी गई थी।

(d) समकोण त्रिभुज

व्याख्या: यदि एक कोण अन्य दो के योग के बराबर है, तो वह कोण 90° का होगा क्योंकि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है। अतः वह समकोण त्रिभुज है।

(a) 50°

व्याख्या: दो कोणों का योग 180° होने पर वे एक-दूसरे के सम्पूरक होते हैं। 180° - 130° = 50°।

(c) S.S.A.

व्याख्या: S.S.A. (या A.S.S.) त्रिभुज की सर्वांगसमता की मानक कसौटी नहीं है।

(a) एक और केवल एक

व्याख्या: तीन असंरेख (non-collinear) बिन्दुओं से होकर केवल और केवल एक ही वृत्त खींचा जा सकता है।

(b) 40°

व्याख्या: किसी चाप द्वारा केंद्र पर बना कोण उसी चाप द्वारा वृत्त के शेष भाग के किसी बिन्दु पर बने कोण का दोगुना होता है। AOC = 2 × ABC = 2 × 20° = 40°।

(a) √(s(s-a)(s-b)(s-c))

व्याख्या: यह त्रिभुज के क्षेत्रफल ज्ञात करने का प्रसिद्ध हीरोन का सूत्र (Heron's Formula) है।

(c) π r(l+r)

व्याख्या: शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल वक्रपृष्ठ (π rl) और आधार के क्षेत्रफल (π r²) का योग होता है, यानी π r(l+r)।

(d) (1)/(6)π d³

व्याख्या: गोले की त्रिज्या r = d/2 है। आयतन V = (4)/(3)π r³ = (4)/(3)π ((d)/(2))³ = (1)/(6)π d³।

(b) 36°

व्याख्या: सबसे छोटा कोण = (1)/(1+2+3+4) × 360° = (1)/(10) × 360° = 36°।

(b) व्यास

व्याख्या: वृत्त की सबसे बड़ी जीवा उसका व्यास (Diameter) होती है जो केंद्र से होकर गुजरती है।

(d) 100√(3) सेमी²

व्याख्या: परिमाप 60 सेमी है, अतः भुजा a = 60/3 = 20 सेमी। क्षेत्रफल = √(3)4 a² = √(3)4 (20)² = 100√(3) सेमी²।

(c) 22.5

व्याख्या: मध्यमान = (ऊपरी सीमा + निचली सीमा) / 2 = (25 + 20) / 2 = 45 / 2 = 22.5।

खण्ड 'ब' (वर्णनात्मक प्रश्न)

हाँ, शून्य (0) एक परिमेय संख्या है।

इसे (0)/(1), (0)/(2), (0)/(-5) आदि के रूप में (p)/(q) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0 है।

(ख) संख्या 0.47 (यहाँ 7 पर बार है) को (p)/(q) के रूप में बदलिए।

उत्तर:

माना x = 0.4777... --- (1)

दोनों तरफ 10 से गुणा करने पर:

10x = 4.777... --- (2)

पुनः समीकरण (1) में 100 से गुणा करने पर:

100x = 47.777... --- (3)

समीकरण (3) में से समीकरण (2) को घटाने पर:

100x - 10x = 47.777... - 4.777...

90x = 43

x = (43)/(90)

(ग) गुणनखण्ड कीजिए: 12x² - 7x + 1

उत्तर:

12x² - 7x + 1

= 12x² - 4x - 3x + 1

= 4x(3x - 1) - 1(3x - 1)

= (3x - 1)(4x - 1)

(घ) बिन्दु (-3, 2) तथा (4, -3) को ग्राफ पेज पर दर्शाइए।

उत्तर:

- बिन्दु (-3, 2): यह द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है जहाँ x-अक्ष पर -3 और y-अक्ष पर 2 चलना होता है।

- बिन्दु (4, -3): यह चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित है जहाँ x-अक्ष पर 4 और y-अक्ष पर -3 चलना होता है।

(इसे ग्राफ पेपर पर तAxis के अनुसार चिह्नित किया जाता है।)

(ङ) यदि बिन्दु (3, 4) समीकरण 3y = ax + 7 के आलेख पर स्थित हैं तो a का मान बताइये।

उत्तर:

समीकरण: 3y = ax + 7

बिन्दु (3, 4) रखने पर (जहाँ x = 3, y = 4):

3(4) = a(3) + 7

12 = 3a + 7

3a = 12 - 7

3a = 5

a = (5)/(3)

(च) निम्नलिखित चित्र में AB CD तथा APQ = 50° और PRD = 127° है तो x तथा y के मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

- एकांतर अंतः कोणों से: PQR = APQ = 50° (चूंकि AB CD)

- y = 50°

- पुनः रेखा AB CD और PR तिर्यक रेखा है, अतः APR = PRD

- APQ + y = 127°

- 50° + y = 127° (लेकिन यहाँ y सीधे PQR है, और APR = 50° + y = 127°)

- अतः 50° + x = 127° (चूंकि PQR + QPR = PRD बाह्य कोण प्रमेय से या एकांतर कोण से)

- x = 127° - 50° = 77°

- इस प्रकार y = 50° और x = 77° प्राप्त होता है।

दिया है: AC = AE, AB = AD और BAD = EAC

चूंकि BAD = EAC, दोनों तरफ DAC जोड़ने पर:

BAD + DAC = EAC + DAC

अतः BAC = DAE

अब ABC और ADE में:

- AB = AD (दिया है)

- BAC = DAE (सिद्ध किया)

- AC = AE (दिया है)

SAS सर्वांगसमता कसौटी द्वारा, ABC ADE

अतः CPCT से BC = DE (इतिसिद्धम्)।

(ख) सिद्ध कीजिए कि समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।

उत्तर:

माना ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसके विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।

AOB और COD में:

- AB = CD (समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)

- OAB = OCD (एकान्तर अन्तः कोण)

- OBA = ODC (एकान्तर अन्तः कोण)

ASA सर्वांगसमता नियम से, AOB COD

अतः OA = OC और OB = OD (CPCT द्वारा)।

अर्थात विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।

(ग) यदि एक रेखा दो संकेन्द्रीय वृत्त को जिनका केन्द्र O है, बिन्दु A, B, C, D पर प्रतिच्छेद करे तो सिद्ध कीजिए कि AB = CD है जबकि OP AD है।

उत्तर:

बड़े वृत्त के लिए, केंद्र O से रेखा AD पर डाला गया लम्ब OP जीवा BC को समद्विभाजित करता है (चूंकि वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है):

अतः AP = PD --- (1)

छोटे वृत्त के लिए, OP जीवा BC पर लम्ब है:

अतः BP = PC --- (2)

समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर:

AP - BP = PD - PC

AB = CD (इतिसिद्धम्)।

(घ) एक गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 सेमी² है।

उत्तर:

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4π r² = 154 सेमी²

4 × (22)/(7) × r² = 154

(88)/(7) × r² = 154

r² = (154 × 7)/(88) = (7 × 7)/(4)

r = (7)/(2) सेमी

अब गोले का आयतन V = (4)/(3) π r³

V = (4)/(3) × (22)/(7) × ((7)/(2))³

V = (4)/(3) × (22)/(7) × (343)/(8) = (539)/(3) सेमी³ = 179.67 सेमी³।

(ङ) दो संख्याओं के बीच परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने से संबंधित प्रश्न (मानक विधि द्वारा हल किया जाता है)।

(च) आयत चित्र बनाइए (बारम्बारता सारणी के आधार पर ग्राफ पेपर पर आयत चित्र निर्मित किया जाता है)।

(अथवा भाग):

त्रिभुज ABC में, तीनों कोणों का योग 180° होता है:

BAC + ABC + ACB = 180°

दोनों तरफ 2 से भाग देने पर:

(1)/(2) BAC + (1)/(2) ABC + (1)/(2) ACB = 90°

(1)/(2) ABC + (1)/(2) ACB = 90° - (1)/(2) BAC --- (1)

अब OBC में,

BOC + OBC + OCB = 180°

यहाँ OBC = (1)/(2) ABC और OCB = (1)/(2) ACB (चूंकि BO और CO क्रमशः कोण B और C के समद्विभाजक हैं)

मान रखने पर:

BOC + (1)/(2) ABC + (1)/(2) ACB = 180°

समीकरण (1) से मान रखने पर:

BOC + (90° - (1)/(2) BAC) = 180°

BOC = 180° - 90° + (1)/(2) BAC

BOC = 90° + (1)/(2) BAC (इतिसिद्धम्)।

माना भुजाएँ 6x, 7x और 8x हैं।

परिमाप = 6x + 7x + 8x = 420

21x = 420 x = 20

अतः भुजाएँ हैं:

a = 6 × 20 = 120 मीटर

b = 7 × 20 = 140 मीटर

c = 8 × 20 = 160 मीटर

अर्धपरिमाप (s) = (420)/(2) = 210 मीटर

हीरोन के सूत्र से क्षेत्रफल = √(s(s-a)(s-b)(s-c))

= √(210(210 - 120)(210 - 140)(210 - 160))

= √(210 × 90 × 70 × 50)

= √(21 × 10 × 9 × 10 × 7 × 10 × 5 × 10)

= 10 × 10 × √(21 × 9 × 7 × 5)

= 100 × √((3 × 7) × 9 × 7 × 5)

= 100 × 3 × 7 × √(15)

= 2100√(15) मीटर²।

(प्रथम भाग):

हम जानते हैं कि सर्वसमिका:

a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c) (a² + b² + c² - ab - bc - ca)

सबसे पहले a² + b² + c² का मान ज्ञात करेंगे:

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

(5)² = a² + b² + c² + 2(10)

25 = a² + b² + c² + 20

a² + b² + c² = 25 - 20 = 5

अब सूत्र में मान रखने पर:

a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c) [(a² + b² + c²) - (ab + bc + ca)]

= 5 [5 - 10]

= 5 [-5]

= -25 (इतिसिद्धम्)।