Solution

(C) एक वास्तविक संख्या

व्याख्या: वास्तविक संख्याओं के संग्रह में सभी परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ सम्मिलित होती हैं, अतः प्रत्येक परिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है.

(A) 2

व्याख्या: (32)^(1/5) = (2⁵)^(1/5) = 2^(5 × 1/5) = 2¹ = 2 होता है.

(C) 2

व्याख्या: गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, यदि x + 1 = 0 यानी x = -1 बहुपद का शून्यक है, तो 2(-1)² + k(-1) = 0 2 - k = 0 k = 2.

(D) अस्तित्व नहीं है

व्याख्या: एक अशून्य अचर बहुपद का कोई शून्यक नहीं होता क्योंकि वह कभी शून्य के बराबर नहीं हो सकता, अतः इसका शून्यक अस्तित्व में नहीं होता.

(B) (0, 0)

व्याख्या: कार्तीय तल में जहाँ x-अक्ष और y-अक्ष एक-दूसरे को काटते हैं, उसे मूल बिंदु (Origin) कहते हैं और इसके निर्देशांक (0, 0) होते हैं.

(A) 4

व्याख्या: समीकरण 2x + 3y = k में x = 2 और y = 0 रखने पर: 2(2) + 3(0) = k k = 4.

(B) किरण

व्याख्या: यूक्लिडियन ज्यामिति की मूल संकल्पनाओं (अपरिभाषित पदों) में बिंदु, रेखा और तल सम्मिलित हैं, जबकि किरण एक परिभाषित ज्यामितीय आकृति है.

(B) मिस्र (अलेक्जेंड्रिया)

व्याख्या: प्रसिद्ध गणितज्ञ यूक्लिड मिस्र के अलेक्जेंड्रिया (अлександिया) के निवासी थे.

(B) 40°

व्याख्या: त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है। आनुपातिक योग = 2 + 4 + 3 = 9. सबसे छोटा कोण = (2/9) × 180° = 40°.

(B) रैखिक युग्म

व्याख्या: यदि दो आसन्न कोणों का योग 180° हो, तो उनकी वे भुजाएँ जो उभयनिष्ठ नहीं हैं, विपरीत किरणें बनाती हैं और वे एक रैखिक युग्म (Linear Pair) का निर्माण करते हैं.

(C) Δ BAC Δ RPQ

व्याख्या: संगत भुजाओं के मिलान के अनुसार: AB = QR, BC = RP, CA = PQ, अतः शीर्षों की सही संगतता के अनुसार Δ BAC Δ RPQ सही है.

(B) एक आयत

व्याख्या: किसी समचतुर्भुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने पर एक आयत (Rectangle) प्राप्त होता है.

(D) इनमें से कोई नहीं (वह एक आयत होता है)

व्याख्या: यदि किसी समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर लंबाई के हों और परस्पर समद्विभाजित करें, तो वह एक आयत (Rectangle) होता है, जो विकल्पों में नहीं दिया गया है.

(D) अनन्त

व्याख्या: दिए गए दो निश्चित बिंदुओं से होकर अनन्त (infinite) वृत्त खींचे जा सकते हैं.

(B) 24 सेमी

व्याख्या: समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (√(3)/4)a² = 16√(3) a² = 64 a = 8 सेमी। परिमाप = 3a = 3 × 8 = 24 सेमी.

(B) (4)/(3)π r³

व्याख्या: त्रिज्या r वाले गोले के आयतन का सूत्र (4)/(3)π r³ होता है.

(D) π r(l+r)

व्याख्या: शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल वक्रपृष्ठ (π rl) और आधार के क्षेत्रफल (π r²) का योग अर्थात π r(l+r) होता है.

(C) 12.5

व्याख्या: मध्यमान = (उच्च सीमा + निम्न सीमा) / 2 = (15 + 10) / 2 = 25 / 2 = 12.5.

(B) 90°

व्याख्या: अर्धवृत्त में बना कोण समकोण (90°) होता है.

(A) प्राथमिक आँकड़े

व्याख्या: जब अनुसंधानकर्ता पहली बार स्रोत से सीधे अपने उद्देश्य के अनुसार स्वयं आंकड़े एकत्रित करता है, तो उन्हें प्राथमिक आंकड़े (Primary Data) कहते हैं.

खण्ड-ब (वर्णनात्मक प्रश्न)

हाँ, शून्य (0) एक परिमेय संख्या है। इसे (0)/(1), (0)/(2), (0)/(-5) आदि के रूप में (p)/(q) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0 है।

(ख) गुणनखण्ड कीजिए: 2x² + 7x + 3

उत्तर:

2x² + 7x + 3

= 2x² + 6x + x + 3

= 2x(x + 3) + 1(x + 3)

= (x + 3)(2x + 1)

(ग) बिन्दु (3, -2) तथा (-5, 4) कौन से चतुर्थांश में स्थित हैं?

उत्तर:

- बिन्दु (3, -2) में x धनात्मक (+) और y ऋणात्मक (-) है, अतः यह चतुर्थ चतुर्थांश (Fourth Quadrant) में स्थित है.

- बिन्दु (-5, 4) में x ऋणात्मक (-) और y धनात्मक (+) है, अतः यह द्वितीय चतुर्थांश (Second Quadrant) में स्थित है.

(घ) यदि बिन्दु (3, 4) समीकरण 3y = ax + 7 के आलेख पर स्थित हैं, तो a का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

समीकरण: 3y = ax + 7

बिन्दु (3, 4) रखने पर (जहाँ x = 3 और y = 4):

3(4) = a(3) + 7

12 = 3a + 7

3a = 12 - 7

3a = 5

a = (5)/(3)

(ङ) निम्नलिखित चित्र में यदि AC = BD है, तो सिद्ध कीजिए कि AB = CD है।

उत्तर:

चित्र के अनुसार, बिन्दु A, B, C, D एक ही रेखा पर क्रमानुसार स्थित हैं।

दिया है: AC = BD

चूंकि AC = AB + BC और BD = BC + CD, मान रखने पर:

AB + BC = BC + CD

दोनों पक्षों से BC घटाने पर:

AB = CD (इतिसिद्धम्)।

(च) यदि POQ एक सरल रेखा है, तो x का मान ज्ञात कीजिए (चित्रानुसार 2x + 10° और 3x दिए गए हैं)।

उत्तर:

चूंकि POQ एक सरल रेखा है, अतः इस पर बने आसन्न कोणों का योग 180° (रैखिक युग्म) होगा:

(2x + 10°) + 3x = 180°

5x + 10° = 180°

5x = 180° - 10°

5x = 170°

x = (170°)/(5) = 34°

माना कोण a, b और c क्रमशः 3x, 4x और 5x हैं। एक बिन्दु के चारों ओर या रेखा पर बने संपूर्ण कोणों का योग 360° होता है (या रैखिक युग्म से पूर्ण चक्र 360°):

3x + 4x + 5x = 360°

12x = 360°

x = (360°)/(12) = 30°

अतः:

a = 3 × 30° = 90°

b = 4 × 30° = 120°

c = 5 × 30° = 150°

(ख) ABC तथा DBC समान आधार BC पर स्थित दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं, तो सिद्ध कीजिए कि ABD = ACD है।

उत्तर:

दिया है कि ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC, इसलिए ABC = \* ACB (समान भुजाओं के सम्मुख कोण).

इसी प्रकार, DBC भी समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें DB = DC, इसलिए DBC = DCB.

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:

ABC + DBC = ACB + DCB

अतः ABD = ACD (इतिसिद्धम्)।

(ग) सिद्ध कीजिए कि समान्तर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं?

उत्तर:

माना ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। विकर्ण AC खींचते हैं जो इसे दो त्रिभुजों ABC और CDA में बांटता है।

इन दोनों त्रिभुजों में:

- BAC = DCA (एकान्तर कोण, चूंकि AB CD)

- AC = AC (उभयनिष्ठ भुजा)

- BCA = DAC (एकान्तर कोण, चूंकि AD BC)

ASA सर्वांगसमता नियम से, ABC CDA

अतः CPCT द्वारा AB = CD और AD = BC (समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)।

(घ) सिद्ध कीजिए कि वृत्त के केन्द्र से किसी जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है?

उत्तर:

माना एक वृत्त जिसका केंद्र O है, उस पर जीवा AB है और केंद्र O से AB पर लम्ब OP डाला गया है (अर्थात OPA = OPB = 90°)।

समकोण त्रिभुज OPA और OPB में:

- हाइपोटेन्यूज OA = OB (वृत्त की त्रिज्याएँ)

- भुजा OP = OP (उभयनिष्ठ)

- OPA = OPB = 90° (दिया है)

RHS सर्वांगसमता नियम से, OPA OPB

अतः CPCT द्वारा AP = BP, अर्थात केंद्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है (इतिसिद्धम्)।

(ङ) एक जोकर की टोपी शंकु के आकार की है जिसके आधार की त्रिज्या 7 सेमी तथा ऊँचाई 24 सेमी है। इसी प्रकार की 10 टोपियाँ बनाने में आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

शंकु की त्रिज्या r = 7 सेमी, ऊँचाई h = 24 सेमी।

तिर्यक ऊँचाई l = √(r² + h²) = √(7² + 24²) = √(49 + 576) = √(625) = 25 सेमी।

एक टोपी का वक्रपृष्ठ क्षेत्रफल = π rl = (22)/(7) × 7 × 25 = 550 सेमी²।

10 टोपियों का कुल क्षेत्रफल = 10 × 550 = 5500 सेमी²।

(च) निम्न बारम्बारता बंटन का आयत चित्र बनाइए (आँकड़ों के आधार पर ग्राफ पेपर पर आयत चित्र तैयार किया जाता है)।

(प्रथम भाग):

सबसे पहले x और y के मान को सरल करते हैं:

x = √(3)+√(2)√(3)-√(2) = (√(3)+√(2))² = 3 + 2 + 2√(6) = 5 + 2√(6)

y = √(3)-√(2)√(3)+√(2) = (√(3)-√(2))² = 3 + 2 - 2√(6) = 5 - 2√(6)

अब x + y = (5 + 2√(6)) + (5 - 2√(6)) = 10

तथा xy = (5 + 2√(6))(5 - 2√(6)) = 5² - (2√(6))² = 25 - 24 = 1

हमें x² + y² ज्ञात करना है:

x² + y² = (x + y)² - 2xy

= (10)² - 2(1)

= 100 - 2 = 98।

(प्रथम भाग):

माना त्रिभुज की भुजाएँ 6x, 7x और 8x हैं।

परिमाप = 6x + 7x + 8x = 420

21x = 420 x = 20

अतः भुजाएँ हैं:

a = 6 × 20 = 120 मीटर

b = 7 × 20 = 140 मीटर

c = 8 × 20 = 160 मीटर

अर्धपरिमाप (s) = 420 / 2 = 210 मीटर

हीरोन के सूत्र से क्षेत्रफल = √(s(s-a)(s-b)(s-c))

= √(210(210 - 120)(210 - 140)(210 - 160))

= √(210 × 90 × 70 × 50)

= √(21 × 10 × 9 × 10 × 7 × 10 × 5 × 10)

= 100 × √(21 × 9 × 7 × 5)

= 100 × √((3 × 7) × 9 × 7 × 5)

= 100 × 3 × 7 × √(15)

= 2100√(15) मीटर²।

(भाग क):

बायां पक्ष (LHS) = (a²)/(bc) + (b²)/(ca) + (c²)/(ab)

लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने पर = abc

= (a³ + b³ + c³)/(abc)

चूंकि दिया गया है कि a + b + c = 0, इसलिए बीजगणितीय सर्वसमिका के अनुसार a³ + b³ + c³ = 3abc होता है।

मान रखने पर:

= (3abc)/(abc) = 3 = दायां पक्ष (RHS) (इतिसिद्धम्)।

उत्तर (भाग ख):

27y³ + 125z³

= (3y)³ + (5z)³

सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) का प्रयोग करने पर:

= (3y + 5z) [(3y)² - (3y)(5z) + (5z)²]

= (3y + 5z)(9y² - 15yz + 25z²)।