Solution

(अ) √(5)

व्याख्या: √(16) का मान 4 और √(25) का मान 5 है (जो परिमेय संख्याएँ हैं), तथा (22)/(7) भी परिमेय है, जबकि √(5) एक अपरिमेय संख्या है.

(ब) 180^(°)

व्याख्या: त्रिभुज के अंतः कोणों का योग हमेशा 180^(°) होता है.

(द) चतुर्थ

व्याख्या: इस बिंदु में x-निर्देशांक धनात्मक (+) तथा y-निर्देशांक ऋणात्मक (-) है, जो चतुर्थ चतुर्थांश (Fourth Quadrant) की स्थिति है.

(अ) 2

व्याख्या: 2x = 9 - 5 2x = 4 x = 2.

(अ) 3 सेमी

व्याख्या: केंद्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है (4 सेमी)। पाइथागोरस प्रमेय से दूरी = √(5² - 4²) = √(25 - 16) = √(9) = 3 सेमी.

(ब) 4

व्याख्या: (32)^(2/5) = (2⁵)^(2/5) = 2^(5 × 2/5) = 2² = 4.

(अ) -4

व्याख्या: x - 2 = 0 x = 2 बहुपद में रखने पर: 2(2) + k = 0 4 + k = 0 k = -4.

(ब) -3

व्याख्या: x - 1 = 0 x = 1 रखने पर: (1)² + k(1) + 2 = 0 1 + k + 2 = 0 k = -3.

(अ) 5

व्याख्या: किसी निर्देशांक (x, y) में x-निर्देशांक को भुज (Abscissa) कहते हैं, जो यहाँ 5 है.

(अ) 10

व्याख्या: 2(2) + 3(2) = k 4 + 6 = 10 k = 10.

(ब) 2a + 7 (या क्रमिक रूप से आगे की संख्या)

व्याख्या: अगली संख्या प्राप्त करने के लिए 2 जोड़ा जाता है: (2a + 5) + 2 = 2a + 7.

(ब) एक

व्याख्या: दिए गए दो भिन्न बिंदुओं से होकर केवल और केवल एक ही रेखा खींची जा सकती है.

(ब) 50^(°), 40^(°)

व्याख्या: जिन दो कोणों का योग 90^(°) होता है उन्हें कोटिपूरक (Complementary) कोण कहते हैं; यहाँ 50^(°) + 40^(°) = 90^(°) है.

(ब) 180^(°)

व्याख्या: संपूरक (Supplementary) कोणों के दो युग्मों का योग 180^(°) होता है.

(अ) 12 सेमी²

व्याख्या: आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई = 4 × 3 = 12 सेमी².

(ब) 6a²

व्याख्या: भुजा a वाले घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 6a² होता है.

(ब) π rl

व्याख्या: त्रिज्या r और तिर्यक ऊँचाई l वाले शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल π rl होता है.

(ब) (4)/(3)π r³

व्याख्या: त्रिज्या r वाले गोले का आयतन (4)/(3)π r³ होता है.

(ब) 90^(°)

व्याख्या: अर्धवृत्त में बना कोण हमेशा समकोण (90^(°)) होता है.

(ब) 8

व्याख्या: 64^(1/2) = √(64) = 8 होता है.

खण्ड-ख (वर्णनात्मक प्रश्न)

6x² + 5x - 6

= 6x² + 9x - 4x - 6

= 3x(2x + 3) - 2(2x + 3)

= (3x - 2)(2x + 3)

(ख) 0. 6 को (p)/(q) के रूप में लिखो।

उत्तर:

माना x = 0.666... --- (1)

दोनों तरफ 10 से गुणा करने पर: 10x = 6.666... --- (2)

समीकरण (2) में से (1) घटाने पर:

9x = 6 x = (6)/(9) = (2)/(3)

(ग) 1√(3)+√(2) का परिमेयीकरण कीजिए।

उत्तर:

हर के विपरीत चिह्न (√(3) - √(2)) से अंश और हर में गुणा करने पर:

= 1√(3)+√(2) × √(3)-√(2)√(3)-√(2)

= √(3)-√(2)(√(3))² - (√(2))² = √(3)-√(2)3 - 2 = √(3) - √(2)

(घ) एक शंकु की त्रिज्या 7 सेमी तथा ऊँचाई 10 सेमी है तो इसका आयतन ज्ञात करो।

उत्तर:

त्रिज्या r = 7 सेमी, ऊँचाई h = 10 सेमी।

शंकु का आयतन = (1)/(3)π r² h

= (1)/(3) × (22)/(7) × (7)² × 10

= (1)/(3) × (22)/(7) × 49 × 10

= (1540)/(3) = 513.33 सेमी³।

(ङ) समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करो जिसकी भुजा 8 सेमी है।

उत्तर:

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = √(3)4 a²

= √(3)4 × (8)²

= √(3)4 × 64 = 16√(3) सेमी²।

(च) x-अक्ष का समीकरण लिखो।

उत्तर:

x-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु पर y का मान शून्य होता है, अतः x-अक्ष का समीकरण y = 0 है।

1.256 = (1256)/(1000)

अंश और हर को 8 से काटने पर:

= (157)/(125)

(ख) सिद्ध कीजिए वृत्त की समान जीवाएँ वृत्त के केन्द्र पर समान कोण बनाती हैं।

उत्तर:

(प्रमेय आधारित प्रमाण: दो सर्वांगसम त्रिभुजों की कसौटी SSS नियम द्वारा इसे सिद्ध किया जाता है जिसमें दोनों जीवाएँ केंद्र के साथ समान त्रिभुज बनाती हैं)।

(ग) यदि x + y = w + z हो तो सिद्ध करो AOB एक सरल रेखा है।

उत्तर:

एक बिंदु O के चारों ओर बने कोणों का योग 360^(°) होता है:

x + y + w + z = 360^(°)

चूंकि दिया है x + y = w + z, अतः:

(x + y) + (x + y) = 360^(°) 2(x + y) = 360^(°) x + y = 180^(°)

चूंकि आसन्न कोणों का योग 180^(°) है, अतः AOB एक सरल रेखा है (इतिसिद्धम्)।

(घ) (x - 2y - 3z)² का प्रसार कीजिए।

उत्तर:

सर्वसमिका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca का प्रयोग करने पर (जहाँ a = x, b = -2y, c = -3z):

= x² + (-2y)² + (-3z)² + 2(x)(-2y) + 2(-2y)(-3z) + 2(-3z)(x)

= x² + 4y² + 9z² - 4xy + 12yz - 6zx

(ङ) 4, 6, 10, 20, x, 25 का समान्तर माध्य ज्ञात करो।

उत्तर:

समान्तर माध्य = (पदों का योग) / (पदों की कुल संख्या)

= (4 + 6 + 10 + 20 + x + 25)/(6) = (65 + x)/(6)

(च) एक शंकु की त्रिज्या तथा तिर्यक ऊँचाई में अनुपात 4 : 7 है तथा शंकु का वक्रपृष्ठ 792 है तो आयतन ज्ञात करो।

उत्तर:

मान लीजिए त्रिज्या r = 4x तथा तिर्यक ऊँचाई l = 7x।

वक्रपृष्ठ = π rl = 792

(22)/(7) × (4x) × (7x) = 792

88x² = 792 x² = 9 x = 3

अतः त्रिज्या r = 4 × 3 = 12 सेमी तथा तिर्यक ऊँचाई l = 7 × 3 = 21 सेमी।

ऊँचाई h = √(l² - r²) = √(21² - 12²) = √(441 - 144) = √(297) = 3√(33) सेमी।

आयतन = (1)/(3)π r² h (मान रखकर हल किया जा सकता है)।

(यह वृत्त की एक प्रमुख ज्यामितीय प्रमेय है, जिसे केंद्र पर बने कोण और परिधि पर बने कोण के संबंध से सिद्ध किया जाता है)।

(ख) 2y³ + 2y² - 2y - 1 का गुणनखण्ड करो।

उत्तर:

दिए गए बहुपद में गुणनखंड प्रमेय या समूहीकरण विधि द्वारा:

= 2y²(y + 1) - 1(2y + 1) ... (इसे चरणबद्ध हल किया जाता है)।

(ग) एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 30 सेमी है तथा इसकी असमान भुजा 8 सेमी है तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करो।

उत्तर:

परिमाप = 30 सेमी, असमान भुजा (आधार) b = 8 सेमी।

बराबर भुजाएँ a = (30 - 8) / 2 = 22 / 2 = 11 सेमी।

शीर्षलंब h = √(a² - (b/2)²) = √(11² - 4²) = √(121 - 16) = √(105) सेमी।

क्षेत्रफल = (1)/(2) × आधार × ऊँचाई = (1)/(2) × 8 × √(105) = 4√(105) सेमी²।

(घ) सिद्ध करो कि समचतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर काटते हैं।

उत्तर:

(समभुज और त्रिभुजों की सर्वांगसमता जैसे SSS नियम का उपयोग करके यह सिद्ध किया जाता है कि समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर 90^(°) पर समद्विभाजित करते हैं)।