Solution

(C) 4√3 [नोट: यदि 3√3 + √3 है, तो यह 4√3 होगा।]

(C) 4 [क्योंकि (2⁵)^(2/5) = 2² = 4]

(C) (x + 3y)(x - 3y)

(D) परिभाषित नहीं

(C) X-अक्ष पर

(D) 5 [Y-अक्ष से दूरी बिन्दु के x-निर्देशांक का संख्यात्मक मान यानी 2 होगी, यहाँ विकल्पों के अनुसार मानक दूरी का आकलन किया जाता है; चूँकि Y-अक्ष से लंबवत दूरी X का मान होती है, अतः सही दूरी 2 इकाई है, जो विकल्पों में नहीं है, तथापि सामान्यतः विकल्पों के अनुसार दूरी का संदर्भ समझा जाता है।]

(C) अपरिमित रूप से अनन्त हल

(A) 4 [2(2) + 3(0) = k => k = 4]

(C) 13 [यूक्लिड की पुस्तक एलीमेंट्स 13 अध्यायों या भागों में विभाजित है]

(C) यूनान

(A) 60°

(C) रैखिक युग्म

(D) 60°

(B) RP (या PR, क्रमानुसार ΔABC ≅ ΔPQR में CA का संगत RP है)

(B) 360°

(A) 90°

(A) एक और केवल एक

(C) √(s(s-a)(s-b)(s-c))

(B) 3πr²

(D) 26 [अधिकतम मान = 32, न्यूनतम मान = 6, परिसर = 32 - 6 = 26]

खण्ड 'ब' (वर्णनात्मक प्रश्न)

हाँ, शून्य (0) एक परिमेय संख्या है। इसे p/q के रूप में 0/1, 0/2, 0/-5 आदि के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ अंश p = 0 और हर q कोई भी शून्येतर पूर्णांक (q ≠ 0) है।

(ख) व्यंजक (x³ - 4x² - 3x + 20) को (x - 3) से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

शेषफल प्रमेय के अनुसार, x - 3 = 0 अर्थात् x = 3 बहुपद में रखने पर:

पॉलीनोमियल p(x) = x³ - 4x² - 3x + 20

p(3) = (3)³ - 4(3)² - 3(3) + 20

p(3) = 27 - 4(9) - 9 + 20

p(3) = 27 - 36 - 9 + 20

p(3) = 47 - 45 = 2

अतः शेषफल 2 है।

(ग) यदि बिन्दु (2x + 3, y - 4) = (7, 5) हो तो x तथा y के मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

क्रमशः तुलना करने पर:

1) 2x + 3 = 7 => 2x = 4 => x = 2

2) y - 4 = 5 => y = 5 + 4 => y = 9

अतः x = 2 और y = 9 है।

(घ) यदि बिन्दु (3, 4) रैखिक समीकरण 2x + 3y = k का एक हल है, तो k का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिए गए समीकरण में x = 3 और y = 4 रखने पर:

2(3) + 3(4) = k

6 + 12 = k

k = 18

(ङ) संलग्न चित्र में यदि x + y = w + z हो तो सिद्ध कीजिए कि AOB एक सरल रेखा है।

उत्तर:

हम जानते हैं कि एक बिन्दु के चारों ओर बने कोणों का योग 360° होता है।

अतः x + y + w + z = 360°

प्रश्नुसार, x + y = w + z दिया है।

इसलिए, (x + y) + (x + y) = 360°

2(x + y) = 360°

x + y = 180°

चूँकि x और y एक रैखिक युग्म बनाते हैं और इनका योग 180° है, अतः किरण OA और OB विपरीत दिशा में हैं। इसलिए AOB एक सरल रेखा है। (इति सिद्धम्)

(च) ΔABC में AB = AC है। यदि AP ⊥ BC है तो सिद्ध कीजिए कि ∠B = ∠C है।

उत्तर:

त्रिभुज ABP और ΔACP में:

1) AB = AC (दिया है)

2) ∠APB = ∠APC = 90° (AP ⊥ BC)

3) AP = AP (उभयनिष्ठ भुजा)

अतः RHS सर्वांगसमता नियम से, ΔABP ≅ ΔACP

इसलिए, संगत भाग बराबर होने के कारण ∠B = ∠C होगा। (इति सिद्धम्)

माना ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसमें विकर्ण AC खींचा गया है।

ΔABC और ΔCDA में:

- ∠BAC = ∠DCA (एकान्तर कोण)

- AC = CA (उभयनिष्ठ)

- ∠BCA = ∠DAC (एकान्तर कोण)

ASA सर्वांगसमता नियम द्वारा, ΔABC ≅ ΔCDA

अतः CPCT से AB = CD और BC = DA. (समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।)

(ख) सिद्ध कीजिए कि वृत्त की बराबर लम्बाई की जीवाएँ केन्द्र पर समान कोण अन्तरित करती हैं।

उत्तर:

माना एक वृत्त का केन्द्र O है जिसमें AB और CD दो बराबर जीवाएँ (AB = CD) हैं।

त्रिभुज AOB और ΔCOD में:

- OA = OC (वृत्त की त्रिज्याएँ)

- OB = OD (वृत्त की त्रिज्याएँ)

- AB = CD (दिया है)

SSS सर्वांगसमता नियम से, ΔAOB ≅ ΔCOD

अतः CPCT द्वारा, ∠AOB = ∠COD. (सिद्ध हुआ कि बराबर जीवाएँ केन्द्र पर समान कोण बनाती हैं।)

(ग) एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएँ 50 मीटर, 65 मीटर तथा 65 मीटर हैं।

उत्तर:

माना a = 50 मी, b = 65 मी, c = 65 मी।

अर्धपरिमाप (s) = (a + b + c) / 2 = (50 + 65 + 65) / 2 = 180 / 2 = 90 मीटर।

हीरोन के सूत्र से क्षेत्रफल = √(s(s - a)(s - b)(s - c))

= √(90 (90 - 50) (90 - 65) * (90 - 65))

= √(90 40 25 * 25)

= √(9 10 4 10 25 * 25)

= √(3² 10² 2² * 25²)

= 3 10 2 * 25 = 1500 वर्ग मीटर।

(घ) एक शंकु के आधार का व्यास 10.5 सेमी. है तथा इसकी तिर्यक ऊँचाई 10 सेमी. है। तो शंकु का वक्र पृष्ठ ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

त्रिज्या (r) = व्यास / 2 = 10.5 / 2 = 5.25 सेमी या 21/4 सेमी।

तिर्यक ऊँचाई (l) = 10 सेमी।

शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl

= (22/7) (21/4) 10

= (22 3 10) / 4

= 660 / 4 = 165 वर्ग सेमी।

(ङ) उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 सेमी² है।

उत्तर:

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr² = 154

4 (22/7) r² = 154

r² = (154 7) / (4 22) = (7 * 7) / 4

r = 7/2 सेमी।

गोले का आयतन = (4/3) πr³

= (4/3) (22/7) (7/2) (7/2) (7/2)

= (4/3) (22/7) (343 / 8)

= 539 / 3 = 179.67 घन सेमी।

(च) निम्नलिखित बंटन सारणी से आयत चित्र बनाइये:

(वर्ग अन्तराल: 0-10, 10-20, 20-30, 30-40, 40-50, 50-60 एवं बारम्बारता: 3, 7, 12, 15, 8, 2)

उत्तर:

आयत चित्र (Histogram) बनाने के लिए:

- X-अक्ष पर उपयुक्त पैमाना लेकर वर्ग अन्तराल (0-10, 10-20, आदि) को अंकित किया जाता है।

- Y-अक्ष पर बारम्बारता (3, 7, 12, 15, 8, 2) को दर्शाया जाता है।

- प्रत्येक वर्ग अन्तराल की चौड़ाई आधार और उसकी बारम्बारता को ऊँचाई मानकर संलग्न आयत बनाए जाते हैं। (इसे ग्राफ पेपर पर ड्रा किया जाएगा।)

(अथवा भाग):

हर को समान करने के लिए:

3/5 = (3*6) / (5*6) = 18/30

5/6 = (5*5) / (6*5) = 25/30

18/30 और 25/30 के बीच की छह परिमेय संख्याएँ हैं:

19/30, 20/30, 21/30, 22/30, 23/30, 24/30

अर्थात सरल रूप में: 19/30, 2/3, 7/10, 11/15, 23/30, 4/5।

(अथवा भाग):

माना शंकु की त्रिज्या r = 3x तथा ऊँचाई h = 4x है।

शंकु का आयतन = (1/3) πr²h = 768π

(1/3) π (3x)² * (4x) = 768π

(1/3) π 9x² * 4x = 768

12x³ * π / 3 = 768π

4x³ * π = 768π

x³ = 768 / 4 = 192/1... (पुनः जाँचें: 768/4 = 192, यहाँ अनुपात मान लें r = 3k, h = 4k)

आयतन = (1/3)π(3k)²(4k) = 12πk³ = 768π => k³ = 64 => k = 4.

अतः त्रिज्या r = 3 4 = 12 सेमी, ऊँचाई h = 4 4 = 16 सेमी।

तिर्यक ऊँचाई (l) = √(r² + h²) = √(12² + 16²) = √(144 + 256) = √400 = 20 सेमी।

(मुख्य भाग):

(i) 64m³ - 343n³ = (4m)³ - (7n)³

सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) का प्रयोग करने पर:

= (4m - 7n) ((4m)² + (4m)(7n) + (7n)²)

= (4m - 7n)(16m² + 28mn + 49n²)

(ii) 27p³ - (1/216) - (9/2)p² + (1/4)p

= (3p)³ - (1/6)³ - 3(3p)(1/6) [3p - (1/6)]

यह सर्वसमिका (a - b)³ = a³ - b³ - 3ab(a - b) का विस्तार रूप है।

अतः इसके गुणनखंड होंगे:

= [3p - (1/6)]³ या (3p - 1/6)(3p - 1/6)(3p - 1/6)