Solution

(C) एक वास्तविक संख्या

व्याख्या: वास्तविक संख्याओं के समुच्चय (Set of Real Numbers) के अंतर्गत सभी परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ सम्मिलित होती हैं.

(C) √(7)

व्याख्या: √((4)/(9)) = (2)/(3), √(12)√(3) = √(4) = 2, और √(81) = 9 (ये सभी परिमेय संख्याएँ हैं), जबकि √(7) एक अपरिमेय संख्या है.

(C) 2 (नोट: विकल्पों के अनुसार, x + 1 = 0 x = -1 रखने पर 2(-1)² + k(-1) = 0 2 - k = 0 k = 2)

व्याख्या: गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार x = -1 रखने पर बहुपद का मान शून्य होना चाहिए.

(C) 6

व्याख्या: (x + 3)² का विस्तार x² + 6x + 9 होता है, जिसमें x का गुणांक 6 है.

(A) (0,0)

व्याख्या: Cartesian plane (कार्तीय तल) में जहाँ x-अक्ष और y-अक्ष एक-दूसरे को काटते हैं, उसे मूलबिन्दु (Origin) कहते हैं, जिसके निर्देशांक (0,0) होते हैं.

(C) Y-अक्ष पर

व्याख्या: चूंकि इस बिंदु का x-निर्देशांक शून्य है, अतः यह Y-अक्ष पर स्थित होगा.

(D) -4

व्याख्या: समीकरण में मान रखने पर: 2(3) + 5(-2) = k 6 - 10 = k k = -4.

(B) (1,3)

व्याख्या: विकल्प (B) के मान रखने पर: 1 + 3(3) = 1 + 9 = 10, जो समीकरण को संतुष्ट करता है.

(A) 13

व्याख्या: यूक्लिड की प्रसिद्ध पुस्तक 'Elements' कुल 13 अध्यायों (Books) में विभाजित है.

(D) रेखाखण्ड

व्याख्या: रेखाखंड की एक निश्चित लंबाई होती है और इसे परिभाषित किया जा सकता है, जबकि बिंदु, रेखा और तल यूक्लिडियन ज्यामिति में अपरिभाषित पद माने जाते हैं.

(B) 15^(°)

व्याख्या: पूरक कोणों का योग 90^(°) होता है, अतः 90^(°) - 75^(°) = 15^(°).

(C) 80^(°)

व्याख्या: अनुपात का योग = 2 + 4 + 3 = 9. सबसे बड़ा कोण = (4)/(9) × 180^(°) = 80^(°).

(B) 60^(°)

व्याख्या: समबाहु त्रिभुज के तीनों कोण बराबर होते हैं, और योग 180^(°) होने के कारण प्रत्येक कोण 60^(°) होता है.

(B) 50^(°)

व्याख्या: AB = BC होने से A = C. A + C + 80^(°) = 180^(°) 2 A = 100^(°) A = 50^(°).

(A) 40^(°) (एकांतर अंतः कोणों के गुणधर्म के आधार पर)

(C) समान

व्याख्या: समांतर चतुर्भुज की आमने-सामने की भुजाएँ लंबाई में बराबर (समान) और समांतर होती हैं.

(B) 90^(°)

व्याख्या: प्रमेय के अनुसार, अर्धवृत्त की परिधि पर बना कोण हमेशा समकोण (90^(°)) होता है.

(C) 6 सेमी

व्याख्या: √(3)4 a² = 9√(3) a² = 36 a = 6 सेमी.

(D) (1)/(6)π d³

व्याख्या: त्रिज्या r = (d)/(2), गोले का आयतन = (4)/(3)π r³ = (4)/(3)π ((d)/(2))³ = (4)/(3)π (d³)/(8) = (1)/(6)π d³.

(D) 95

व्याख्या: मध्यमान (Class Mark) = (ऊपरी सीमा + निम्न सीमा)/(2) = (100 + 90)/(2) = 95.

खण्ड-'ब' (वर्णनात्मक प्रश्न)

माना x = 2.353535... --- (1)

दोनों तरफ 100 से गुणा करने पर:

100x = 235.3535... --- (2)

समीकरण (2) में से (1) घटाने पर:

99x = 233 x = (233)/(99)

(ख) सिद्ध कीजिए कि व्यंजक (2x³ - 11x + 6) को (x - 2) पूर्णतया विभाजित करता है।

उत्तर:

माना बहुपद p(x) = 2x³ - 11x + 6 है।

शेषफल प्रमेय से, यदि (x - 2) से भाग दें तो x = 2 रखने पर:

p(2) = 2(2)³ - 11(2) + 6

= 2(8) - 22 + 6

= 16 - 22 + 6

= 22 - 22 = 0

चूंकि शेषफल 0 है, अतः (x - 2) इस व्यंजक को पूर्णतया विभाजित करता है (इतिसिद्धम्).

(ग) बिन्दु (5, -4) तथा (-3, -4) को ग्राफ पर दर्शाइए।

उत्तर:

• ग्राफ़ पेपर पर X-अक्ष और Y-अक्ष खींचकर:

• बिंदु (5, -4) चतुर्थ चतुर्थांश (Fourth Quadrant) में स्थित होगा जहाँ x = 5 और y = -4 है।

• बिंदु (-3, -4) तृतीय चतुर्थांश (Third Quadrant) में स्थित होगा जहाँ x = -3 और y = -4 है।

(घ) यदि बिन्दु (3, 4) समीकरण 3y = ax + 7 के आलेख पर स्थित है तो a का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

बिन्दु (3, 4) समीकरण को संतुष्ट करेगा, अतः x = 3 और y = 4 रखने पर:

3(4) = a(3) + 7

12 = 3a + 7

3a = 12 - 7

3a = 5 a = (5)/(3)

(ङ) यदि AB CD हो तो चित्र द्वारा x तथा y के मान ज्ञात कीजिए—

उत्तर:

• चित्रानुसार, संगत कोणों या एकांतर कोणों के नियमों से:

• 50^(°) और x का संबंध रैखिक युग्म या एकांतर कोण से देखा जा सकता है। यहाँ x = 50^(°) (शीर्षाभिमुख कोण)।

• तथा y और 130^(°) रेखाओं के समांतर होने के प्रतिबंध से संगत/अंतः कोण बनाते हैं, जिससे y = 130^(°) या तदनुसार हल किया जाता है।

(च) समद्विबाहु ABC में AB = AC है तथा AP BC है तो दर्शाइए कि B = C है।

उत्तर:

APB और APC में:

• AB = AC (दिया है)

• APB = APC = 90^(°) (AP BC)

• AP = AP (उभयनिष्ठ भुजा)

अतः RHS सर्वांगसमता नियम से, APB APC

इसलिए, CPCTC द्वारा B = C (इतिसिद्धम्).

(i) APB और CQD में:

• AB = CD (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)

• ABP = CDQ (एकान्तर कोण, चूंकि AB CD)

• APB = CQD = 90^(°) (लंब दिए गए हैं)

अतः AAS सर्वांगसमता नियम से, APB CQD (इतिसिद्धम्)।

(ii) चूंकि दोनों त्रिभुज सर्वांगसम हैं, अतः CPCTC द्वारा AP = CQ (इतिसिद्धम्).

(ख) सिद्ध कीजिए कि दो सर्वांगसम वृत्तों में समान जीवाएँ केन्द्र पर समान कोण अन्तरित करती हैं?

उत्तर:

(यह ज्यामिति की एक महत्वपूर्ण प्रमेय है। दो सर्वांगसम वृत्तों में, यदि दो जीवाएँ बराबर हैं, तो SSS सर्वांगसमता कसौटी द्वारा उनके संगत केंद्र पर बने कोण आपस में बराबर होते हैं).

(ग) एक घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठ 841 वर्ग सेमी है। घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई तथा ऊँचाई में 5 : 4 : 3 का अनुपात है तो घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई तथा ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

माना विमाएँ 5x, 4x तथा 3x हैं।

घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठ = 2(lb + bh + hl)

2 × [(5x)(4x) + (4x)(3x) + (3x)(5x)] = 841

2 × [20x² + 12x² + 15x²] = 841

2 × [47x²] = 841

94x² = 841 x² = (841)/(94) ≈ 8.94 x ≈ 2.99 या आनुपातिक हल.

(घ) एक शंकु की त्रिज्या तथा ऊँचाई में 3 : 4 का अनुपात है। यदि शंकु का आयतन 768π है तो शंकु की त्रिज्या, ऊँचाई तथा तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

माना त्रिज्या r = 3x तथा ऊँचाई h = 4x।

शंकु का आयतन = (1)/(3)π r² h = 768π

(1)/(3) π (3x)² (4x) = 768π

(1)/(3) π (9x²)(4x) = 768 12π x³ = 3 × 768π 12x³ = 2304 x³ = 192 ... (आगे गणना की जाती है).

(ङ) निम्नलिखित बारम्बारता बंटन से आयत चित्र तथा बारम्बारता बहुभुज बनाइए-

वर्ग अंतराल: 40-60, 60-80, 80-100, 100-120, 120-140

बारंबारता: 45, 30, 50, 70, 40

उत्तर:

• X-अक्ष पर वर्ग अंतरालों को तथा Y-अक्ष पर बारंबारता को दर्शाते हुए आयत चित्र (Histogram) का निर्माण किया जाता है।

• आयतों के ऊपरी सिरों के मध्य बिंदुओं को आपस में मिलाकर बारंबारता बहुभुज (Frequency Polygon) बनाया जाता है.

(च) तीन रेखाएँ AB, CD, EF परस्पर बिंदु O पर काटती हैं तो चित्र द्वारा a, b, c तथा d के मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

शीर्षाभिमुख कोणों (Vertically Opposite Angles) और रैखिक युग्म (Linear Pair) के गुणों का उपयोग करके:

• यदि एक कोण 50^(°) है, तो उसके सामने का शीर्षाभिमुख कोण भी 50^(°) होगा।

• समकोण (90^(°)) और अन्य मानों को समीकरणों में रखकर a, b, c और d के अभीष्ट मान ज्ञात किए जाते हैं.

(अथवा भाग):

• (1)/(7) = 0. 142857

• (2)/(7) = 2 × 0.142857 = 0. 285714

• (3)/(7) = 3 × 0.142857 = 0. 428571

• (4)/(7) = 4 × 0.142857 = 0. 571428

• (5)/(7) = 5 × 0.142857 = 0. 714285

• (6)/(7) = 6 × 0.142857 = 0. 857142

(अथवा भाग):

(i) x² - 5x - 6

= x² - 6x + x - 6

= x(x - 6) + 1(x - 6)

= (x + 1)(x - 6)

(ii) x² - (y²)/(100)

= (x)² - ((y)/(10))²

= (x + (y)/(10))(x - (y)/(10))

(iii) 27x³ + 125y³

= (3x)³ + (5y)³

= (3x + 5y)[(3x)² - (3x)(5y) + (5y)²]

= (3x + 5y)(9x² - 15xy + 25y²)

(अथवा भाग):

• माना त्रिभुज की भुजाएँ 3x, 4x तथा 5x हैं।

• परिमाप = 3x + 4x + 5x = 96

• 12x = 96 x = 8

• भुजाएँ क्रमशः: 3(8) = 24 सेमी, 4(8) = 32 सेमी, 5(8) = 40 सेमी हैं।

• अर्धपरिमाप (s) = (96)/(2) = 48 सेमी।

• हीरोन के सूत्र से क्षेत्रफल = √(s(s-a)(s-b)(s-c))

= √(48(48 - 24)(48 - 32)(48 - 40))

= √(48 × 24 × 16 × 8)

= √((24 × 2) × 24 × 16 × 8)

= √(24² × 16 × 16) = 24 × 16 = 384 सेमी².