Solution

दिया है:

समुच्चय व्यंजक A ∩ (A ∩ B)

ज्ञात सूत्र:

साहचर्य नियम: X ∩ (Y ∩ Z) = (X ∩ Y) ∩ Z तथा वर्गसम नियम: A ∩ A = A

हल:

A ∩ (A ∩ B) = (A ∩ A) ∩ B

= A ∩ B

अतः उत्तर: (द) A ∩ B

दिया है:

n(A) = m तथा n(B) = n

ज्ञात सूत्र:

A से B में कुल संबंधों की संख्या = 2^(n(A × B)) = 2^(mn)

अरिक्त संबंधों की संख्या = कुल संबंध - 1

हल:

समुच्चय A से B के कार्तीय गुणन A × B में अवयवों की संख्या n(A × B) = m × n = mn होती है।

A से B में कुल संबंधों की संख्या = 2^(mn)

इनमें से 1 संबंध रिक्त संबंध होता है।

अतः अरिक्त संबंधों की कुल संख्या = 2^(mn) - 1

अतः उत्तर: (द) 2^(mn) - 1

दिया है:

nC12 = nC4

ज्ञात सूत्र:

यदि nCx = nCy (जहाँ x ≠ y), तो n = x + y

हल:

यहाँ x = 12 और y = 4 है।

n = 12 + 4

n = 16

अतः उत्तर: (अ) 16

दिया है:

समुच्चय व्यंजक A ∩ (A ∪ B)

ज्ञात सूत्र:

अवशोषण नियम: A ∩ (A ∪ B) = A

हल:

चूँकि समुच्चय A, समुच्चय (A ∪ B) का उपसमुच्चय है, अर्थात् A ⊆ (A ∪ B)।

अतः A तथा (A ∪ B) का सर्वनिष्ठ समुच्चय A ही होगा।

A ∩ (A ∪ B) = A

अतः उत्तर: (अ) A

दिया है:

दी गई रेखा: x + y + 7 = 0

बिन्दु: (1, 2)

ज्ञात सूत्र:

रेखा ax + by + c = 0 पर लम्ब रेखा का समीकरण bx - ay + k = 0 होता है।

हल:

रेखा x + y + 7 = 0 पर लम्ब रेखा का समीकरण:

1x - 1y + k = 0 अर्थात् x - y + k = 0

यह रेखा बिन्दु (1, 2) से होकर जाती है:

1 - 2 + k = 0

-1 + k = 0

k = 1

k का मान रखने पर लम्ब रेखा का समीकरण:

x - y + 1 = 0

y - x के रूप में लिखने पर:

y - x - 1 = 0

अतः उत्तर: (ब) y - x - 1 = 0

दिया है:

सीमा का व्यंजक lim x->2 (3x² - x - 10)/(x² - 4)

ज्ञात सूत्र:

यदि x = a रखने पर 0/0 का रूप प्राप्त होता है, तो अंश तथा हर के गुणनखण्ड करके अनिर्धार्य रूप को हटाया जाता है।

हल:

x = 2 रखने पर:

अंश = 3(2)² - 2 - 10 = 12 - 2 - 10 = 0

हर = 2² - 4 = 4 - 4 = 0

यह 0/0 रूप है।

अंश का गुणनखण्ड करने पर:

3x² - x - 10 = 3x² - 6x + 5x - 10

= 3x(x - 2) + 5(x - 2)

= (x - 2)(3x + 5)

हर का गुणनखण्ड करने पर:

x² - 4 = (x - 2)(x + 2)

व्यंजक में मान रखने पर:

lim x->2 [(x - 2)(3x + 5)] / [(x - 2)(x + 2)]

उभयनिष्ठ पद (x - 2) को निरस्त करने पर:

= lim x->2 (3x + 5)/(x + 2)

x = 2 की सीमा रखने पर:

= (3(2) + 5)/(2 + 2)

= (6 + 5)/4

= 11/4

अतः उत्तर: 11/4

दिया है:

द्विपद व्यंजक (x + y)¹0

ज्ञात सूत्र:

किसी द्विपद व्यंजक (x + y)ⁿ के प्रसार में सभी पदों के गुणांकों का योग प्राप्त करने के लिए चर राशियों x = 1 और y = 1 रखा जाता है।

गुणांकों का योग = (1 + 1)ⁿ

हल:

यहाँ घात n = 10 है।

x = 1 तथा y = 1 रखने पर:

गुणांकों का योग = (1 + 1)¹0

= 2¹0

= 1024

अतः उत्तर: 1024

दिया है:

वाम पक्ष (LHS) = sin θ + sin(90° + θ) + sin(180° + θ) + sin(270° + θ)

ज्ञात सूत्र:

sin(90° + θ) = cos θ

sin(180° + θ) = -sin θ

sin(270° + θ) = -cos θ

हल:

वाम पक्ष में उपयुक्त मान रखने पर:

LHS = sin θ + cos θ + (-sin θ) + (-cos θ)

LHS = sin θ + cos θ - sin θ - cos θ

LHS = (sin θ - sin θ) + (cos θ - cos θ)

LHS = 0 + 0

LHS = 0 = RHS

अतः उत्तर: इति सिद्धम्।

दिया है:

वाम पक्ष (LHS) = sin 105° sin 75°

ज्ञात सूत्र:

sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B

sin 105° = sin(60° + 45°)

sin 75° = sin(45° + 30°)

हल:

sin 105° का मान निकालने पर:

sin 105° = sin(60° + 45°)

= sin 60° cos 45° + cos 60° sin 45°

= (√3/2)(1/√2) + (1/2)(1/√2)

= (√3 + 1)/(2√2)

sin 75° का मान निकालने पर:

sin 75° = sin(45° + 30°)

= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°

= (1/√2)(√3/2) + (1/√2)(1/2)

= (√3 + 1)/(2√2)

अब वाम पक्ष में मान रखने पर:

LHS = sin 105° sin 75°

= [(√3 + 1)/(2√2)] × [(√3 + 1)/(2√2)]

= (√3 + 1)² / (2√2)²

= (3 + 1 + 2√3) / 8

= (4 + 2√3) / 8

= 2(2 + √3) / 8

= (2 + √3) / 4

= (√3 + 2) / 4 = RHS

अतः उत्तर: इति सिद्धम्।

दिया है:

आँकड़े: 36, 72, 46, 42, 60, 45, 53, 46, 51, 49

कुल पदों की संख्या (N) = 10

ज्ञात सूत्र:

माध्यिका (M) = [(N/2)वें पद का मान + ((N/2) + 1)वें पद का मान] / 2

माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन (MD) = Σ xi - M / N

हल:

आँकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर:

36, 42, 45, 46, 46, 49, 51, 53, 60, 72

यहाँ N = 10 (सम संख्या) है।

माध्यिका (M) = (5वाँ पद + 6ठा पद) / 2

5वाँ पद = 46

6ठा पद = 49

M = (46 + 49) / 2 = 95 / 2 = 47.5

प्रत्येक पद का माध्यिका M = 47.5 से निरपेक्ष विचलन xi - M :

36 - 47.5 = 11.5

42 - 47.5 = 5.5

45 - 47.5 = 2.5

46 - 47.5 = 1.5

46 - 47.5 = 1.5

49 - 47.5 = 1.5

51 - 47.5 = 3.5

53 - 47.5 = 5.5

60 - 47.5 = 12.5

72 - 47.5 = 24.5

निरपेक्ष विचलनों का योग (Σ xi - M ):

Σ xi - M = 11.5 + 5.5 + 2.5 + 1.5 + 1.5 + 1.5 + 3.5 + 5.5 + 12.5 + 24.5 = 70

माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन (MD) = 70 / 10 = 7

अतः उत्तर: 7

दिया है:

बिन्दु A = (3, 4, 5)

बिन्दु B = (-1, 3, -7)

प्रतिबंध: PA² + PB² = 2b²

ज्ञात सूत्र:

दो बिन्दुओं (x1, y1, z1) तथा (x2, y2, z2) के बीच की दूरी के वर्ग का सूत्र:

d² = (x1 - x2)² + (y1 - y2)² + (z1 - z2)²

हल:

माना कि गतिशील बिन्दु P के निर्देशांक (x, y, z) हैं।

PA² का मान ज्ञात करना:

PA² = (x - 3)² + (y - 4)² + (z - 5)²

= (x² - 6x + 9) + (y² - 8y + 16) + (z² - 10z + 25)

= x² + y² + z² - 6x - 8y - 10z + 50

PB² का मान ज्ञात करना:

PB² = (x - (-1))² + (y - 3)² + (z - (-7))²

= (x + 1)² + (y - 3)² + (z + 7)²

= (x² + 2x + 1) + (y² - 6y + 9) + (z² + 14z + 49)

= x² + y² + z² + 2x - 6y + 14z + 59

दिए गए संबंध PA² + PB² = 2b² में मान रखने पर:

(x² + y² + z² - 6x - 8y - 10z + 50) + (x² + y² + z² + 2x - 6y + 14z + 59) = 2b²

समान पदों को जोड़ने पर:

2x² + 2y² + 2z² - 4x - 14y + 4z + 109 = 2b²

2x² + 2y² + 2z² - 4x - 14y + 4z + 109 - 2b² = 0

अतः उत्तर:

2x² + 2y² + 2z² - 4x - 14y + 4z + 109 - 2b² = 0

दिया है:

व्यंजक: (x² + 3/x)⁴

ज्ञात सूत्र:

द्विपद प्रमेय: (a + b)ⁿ = ⁿC₀ aⁿ + ⁿC₁ aⁿ⁻¹ b + ⁿC₂ aⁿ⁻² b² + ⁿC₃ aⁿ⁻³ b³ + ... + ⁿCₙ bⁿ

हल:

यहाँ a = x², b = 3/x तथा n = 4 है।

द्विपद प्रमेय से प्रसार करने पर:

(x² + 3/x)⁴ = ⁴C₀ (x²)⁴ + ⁴C₁ (x³) (3/x)¹ + ⁴C₂ (x²)² (3/x)² + ⁴C₃ (x²)¹ (3/x)³ + ⁴C₄ (3/x)⁴

संबद्ध गुणांकों के मान:

⁴C₀ = 1

⁴C₁ = 4

⁴C₂ = 6

⁴C₃ = 4

⁴C₄ = 1

प्रत्येक पद को सरल करने पर:

प्रथम पद = 1 × x⁸ = x⁸

द्वितीय पद = 4 × x⁶ × (3/x) = 12x⁵

तृतीय पद = 6 × x⁴ × (9/x²) = 54x²

चतुर्थ पद = 4 × x² × (27/x³) = 108/x

पंचम पद = 1 × (81/x⁴) = 81/x⁴

सभी पदों को जोड़ने पर:

(x² + 3/x)⁴ = x⁸ + 12x⁵ + 54x² + 108/x + 81/x⁴

अतः उत्तर:

x⁸ + 12x⁵ + 54x² + 108/x + 81/x⁴

दिया है:

दीर्घ अक्ष की लम्बाई = 26

नाभियाँ = (±5, 0)

ज्ञात सूत्र:

दीर्घवृत्त का मानक समीकरण: x²/a² + y²/b² = 1

दीर्घ अक्ष की लम्बाई = 2a

नाभियाँ = (±c, 0)

जहाँ c² = a² - b²

हल:

1. दीर्घ अक्ष की लम्बाई 2a = 26

a = 26 / 2 = 13

a² = 169

2. नाभियाँ (±c, 0) = (±5, 0) से:

c = 5

c² = 25

3. लघु अक्ष b² का मान ज्ञात करना:

c² = a² - b²

25 = 169 - b²

b² = 169 - 25

b² = 144

4. a² तथा b² के मान मानक समीकरण में रखने पर:

x²/169 + y²/144 = 1

अतः उत्तर:

x²/169 + y²/144 = 1

दिया है:

समीकरण: 4x + i(3x - y) = 3 + i(-6)

ज्ञात सूत्र:

यदि दो सम्मिश्र संख्याएँ a + ib और c + id परस्पर समान हों, तो उनके वास्तविक भाग आपस में बराबर (a = c) तथा काल्पनिक भाग आपस में बराबर (b = d) होते हैं।

हल:

दोनों पक्षों के वास्तविक तथा काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:

वास्तविक भागों की तुलना से:

4x = 3

x = 3/4

काल्पनिक भागों की तुलना से:

3x - y = -6

x = 3/4 का मान रखने पर:

3(3/4) - y = -6

9/4 - y = -6

y = 9/4 + 6

y = (9 + 24) / 4

y = 33/4

अतः उत्तर:

x = 3/4, y = 33/4

दिया है:

A = 1, 2, 3

B = 3, 4

C = 4, 5, 6

ज्ञात सूत्र:

B ∩ C = x : x ∈ B तथा x ∈ C

A × D = (a, d) : a ∈ A तथा d ∈ D

हल:

1. सबसे पहले B और C का सर्वनिष्ठ (B ∩ C) ज्ञात करते हैं:

B ∩ C = 3, 4 ∩ 4, 5, 6 = 4

2. अब A तथा (B ∩ C) का कार्तिकी गुणनफल A × (B ∩ C) ज्ञात करते हैं:

A = 1, 2, 3

B ∩ C = 4

A × (B ∩ C) = (1, 4), (2, 4), (3, 4)

अतः उत्तर:

(1, 4), (2, 4), (3, 4)

कीजिए -5 ≤ (50 - 3x)/2 ≤ 8

उत्तर:

दिया है:

असमिका: -5 ≤ (50 - 3x)/2 ≤ 8

ज्ञात सूत्र:

असमिका में किसी धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमिका का चिह्न नहीं बदलता है, परन्तु ऋणात्मक संख्या से गुणा/भाग करने पर असमिका का चिह्न उलट जाता है।

हल:

1. असमिका के सभी पक्षों को 2 से गुणा करने पर:

-5 × 2 ≤ 50 - 3x ≤ 8 × 2

-10 ≤ 50 - 3x ≤ 16

2. सभी पक्षों से 50 घटाने पर:

-10 - 50 ≤ -3x ≤ 16 - 50

-60 ≤ -3x ≤ -34

3. सभी पक्षों को -3 से भाग देने पर (असमिका के चिह्न उलट जाएँगे):

-60 / (-3) ≥ x ≥ -34 / (-3)

20 ≥ x ≥ 34/3

इसे सही क्रम में लिखने पर:

34/3 ≤ x ≤ 20

अंतराल के रूप में:

x ∈ [34/3, 20]

अतः उत्तर:

34/3 ≤ x ≤ 20 (अथवा x ∈ [34/3, 20])

दिया है:

नाभिलम्ब की लम्बाई = (1/2) × (अनुप्रस्थ अक्ष की लम्बाई)

ज्ञात सूत्र:

माना अतिपरवलय का समीकरण x²/a² - y²/b² = 1 है।

अनुप्रस्थ अक्ष की लम्बाई = 2a

नाभिलम्ब की लम्बाई = 2b²/a

उत्केन्द्रता e = √(1 + b²/a²)

हल:

दी गई शर्त के अनुसार:

2b²/a = (1/2) × (2a)

2b²/a = a

2b² = a²

b²/a² = 1/2

उत्केन्द्रता के सूत्र में b²/a² का मान रखने पर:

e = √(1 + 1/2)

e = √(3/2)

अतः उत्तर:

उत्केन्द्रता e = √(3/2)

दिया है:

सम्मिश्र संख्या z = -√3 - i

ज्ञात सूत्र:

यदि z = x + iy हो, तो tan α = y/x

यदि बिंदु (x, y) तृतीय चतुर्थांश में स्थित हो (x < 0, y < 0), तो मुख्य कोणांक θ = -(π - α) होता है।

हल:

1. z = -√3 - i में x = -√3 तथा y = -1 हैं।

यहाँ x < 0 और y < 0 है, इसलिए z तृतीय चतुर्थांश में स्थित है।

2. कोण α का मान ज्ञात करना:

tan α = (-1) / (-√3) = 1/√3

α = π/6

3. मुख्य कोणांक θ ज्ञात करना:

तृतीय चतुर्थांश के नियम से:

θ = -(π - α)

θ = -(π - π/6)

θ = -(5π/6)

इति सिद्धम्।

अतः उत्तर:

z = -√3 - i का कोणांक -5π/6 है।

दिया है:

बायाँ पक्ष = (cos A - cos B)² + (sin A - sin B)²

ज्ञात सूत्र:

cos A - cos B = -2 sin((A + B)/2) sin((A - B)/2)

sin A - sin B = 2 cos((A + B)/2) sin((A - B)/2)

sin² θ + cos² θ = 1

हल:

बायाँ पक्ष = [-2 sin((A + B)/2) sin((A - B)/2)]² + [2 cos((A + B)/2) sin((A - B)/2)]²

= 4 sin²((A + B)/2) sin²((A - B)/2) + 4 cos²((A + B)/2) sin²((A - B)/2)

= 4 sin²((A - B)/2) [sin²((A + B)/2) + cos²((A + B)/2)]

= 4 sin²((A - B)/2) × 1

= 4 sin²((A - B)/2)

= दायाँ पक्ष

अतः उत्तर:

सिद्ध हुआ कि (cos A - cos B)² + (sin A - sin B)² = 4 sin²((A - B)/2)

दिया है:

y = (cos x) / (1 + sin x)

ज्ञात सूत्र:

d/dx (u/v) = [v (du/dx) - u (dv/dx)] / v²

d/dx (cos x) = -sin x

d/dx (sin x) = cos x

sin² x + cos² x = 1

हल:

dy/dx = [(1 + sin x) d/dx(cos x) - cos x d/dx(1 + sin x)] / (1 + sin x)²

= [(1 + sin x)(-sin x) - cos x (0 + cos x)] / (1 + sin x)²

= [-sin x - sin² x - cos² x] / (1 + sin x)²

= [-sin x - (sin² x + cos² x)] / (1 + sin x)²

= [-sin x - 1] / (1 + sin x)²

= -(1 + sin x) / (1 + sin x)²

= -1 / (1 + sin x)

अतः उत्तर:

-1 / (1 + sin x)

दिया है:

lim_(x -> 1) [(f(x) - 2) / (x² - 1)] = π

ज्ञात सूत्र:

lim_(x -> a) [g(x) × h(x)] = [lim_(x -> a) g(x)] × [lim_(x -> a) h(x)]

हल:

हम जानते हैं कि lim_(x -> 1) (x² - 1) = 1² - 1 = 0

समीकरण के दोनों पक्षों में lim_(x -> 1) (x² - 1) से गुणा करने पर:

lim_(x -> 1) [ ((f(x) - 2) / (x² - 1)) × (x² - 1) ] = lim_(x -> 1) [ π × (x² - 1) ]

lim_(x -> 1) (f(x) - 2) = π × (1² - 1)

lim_(x -> 1) (f(x) - 2) = π × 0

lim_(x -> 1) f(x) - 2 = 0

lim_(x -> 1) f(x) = 2

अतः उत्तर:

2

दिया है:

बायाँ पक्ष = n-1Pr + r · n-1Pr-1

ज्ञात सूत्र:

nPr = n! / (n - r)!

हल:

बायाँ पक्ष = [(n - 1)! / ((n - 1) - r)!] + r · [(n - 1)! / ((n - 1) - (r - 1))!]

= [(n - 1)! / (n - r - 1)!] + r · [(n - 1)! / (n - r)!]

हम जानते हैं कि (n - r)! = (n - r) · (n - r - 1)!

प्रथम पद के अंश तथा हर में (n - r) से गुणा करने पर:

= [(n - r)(n - 1)! / ((n - r)(n - r - 1)!)] + [r(n - 1)! / (n - r)!]

= [(n - r)(n - 1)! / (n - r)!] + [r(n - 1)! / (n - r)!]

= [(n - 1)! / (n - r)!] · [(n - r) + r]

= [(n - 1)! / (n - r)!] · n

= [n · (n - 1)!] / (n - r)!

= n! / (n - r)!

= nPr

= दायाँ पक्ष

अतः उत्तर:

सिद्ध हुआ कि n-1Pr + r · n-1Pr-1 = nPr

दिया है:

y = √(x/a) + √(a/x) = (1/√a) x^(1/2) + √a x^(-1/2)

ज्ञात सूत्र:

d/dx (xⁿ) = n x^(n - 1)

हल:

x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

dy/dx = (1/√a) · (1/2) x^(1/2 - 1) + √a · (-1/2) x^(-1/2 - 1)

= (1 / (2 √a)) x^(-1/2) - (√a / 2) x^(-3/2)

= 1 / (2 √a √x) - √a / (2 x √x)

= 1 / (2 √(ax)) - √a / (2 x √x)

हर का लघुत्तम समापवर्त्य (2 x √(ax)) लेने पर:

dy/dx = (x - √a · √a) / [2 x √(ax)]

= (x - a) / [2 x √(ax)]

= (1/2) [(x - a) / (x √(ax))]

= दायाँ पक्ष

अतः उत्तर:

सिद्ध हुआ कि dy/dx = (1/2) [(x - a) / (x √(ax))]

दिया है:

दो बिन्दु A(3, 4) तथा B(-1, 2)।

ज्ञात सूत्र:

1. मध्य-बिन्दु के निर्देशांक = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)

2. रेखा की ढाल m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

3. लम्ब रेखा की ढाल m' = -1/m

4. रेखा का समीकरण: y - y₁ = m'(x - x₁)

हल:

बिन्दु A(3, 4) और B(-1, 2) का मध्य-बिन्दु M:

x = (3 + (-1)) / 2 = 2 / 2 = 1

y = (4 + 2) / 2 = 6 / 2 = 3

मध्य-बिन्दु M = (1, 3)

रेखाखण्ड AB की ढाल m₁:

m₁ = (2 - 4) / (-1 - 3) = -2 / -4 = 1/2

लम्ब-अर्द्धक रेखा की ढाल m₂:

m₂ = -1 / m₁ = -1 / (1/2) = -2

बिन्दु M(1, 3) से होकर जाने वाली तथा ढाल -2 वाली रेखा का समीकरण:

y - 3 = -2(x - 1)

y - 3 = -2x + 2

2x + y - 5 = 0

अतः उत्तर:

2x + y - 5 = 0

दिया है:

बिन्दु P(3, -2, 5) तथा दूरी d = 5√2।

माना y-अक्ष पर स्थित बिन्दु Q(0, y, 0) है।

ज्ञात सूत्र:

दो बिन्दुओं के बीच की दूरी d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)

हल:

दूरी का वर्ग करने पर:

PQ² = (5√2)²

(0 - 3)² + (y - (-2))² + (0 - 5)² = 50

(-3)² + (y + 2)² + (-5)² = 50

9 + (y + 2)² + 25 = 50

34 + (y + 2)² = 50

(y + 2)² = 50 - 34

(y + 2)² = 16

y + 2 = ±4

प्रथम स्थिति:

y + 2 = 4

y = 2

द्वितीय स्थिति:

y + 2 = -4

y = -6

अतः उत्तर:

(0, 2, 0) तथा (0, -6, 0)

दिया है:

lim x→2 (x⁵ - 32) / (x² - 4)

ज्ञात सूत्र:

lim x→a (xⁿ - aⁿ) / (x - a) = n × aⁿ⁻¹

हल:

अंश और हर दोनों को (x - 2) से भाग देने पर:

lim x→2 [(x⁵ - 2⁵)/(x - 2)] / [(x² - 2²)/(x - 2)]

अंश की सीमा = 5 × 2⁵⁻¹ = 5 × 2⁴ = 5 × 16 = 80

हर की सीमा = 2 × 2²⁻¹ = 2 × 2¹ = 4

अभिष्ट मान = 80 / 4 = 20

अतः उत्तर:

20

दिया है:

y = 5 sin x - 6 cos x + 7 eⁿ (जहाँ eⁿ = eˣ)

ज्ञात सूत्र:

d/dx (sin x) = cos x

d/dx (cos x) = -sin x

d/dx (eˣ) = eˣ

हल:

x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

dy/dx = d/dx (5 sin x - 6 cos x + 7 eˣ)

= 5 d/dx(sin x) - 6 d/dx(cos x) + 7 d/dx(eˣ)

= 5 cos x - 6(-sin x) + 7 eˣ

= 5 cos x + 6 sin x + 7 eˣ

अतः उत्तर:

5 cos x + 6 sin x + 7 eˣ

दिया है:

z = 1

ज्ञात सूत्र:

1. z ² = z × z̄ = 1 => z̄ = 1/z (जहाँ z̄ संयुग्मी है)

2. यदि w + w̄ = 0 (या w̄ = -w), तो w एक शुद्ध काल्पनिक संख्या होती है।

हल:

माना w = (z - 1) / (z + 1)

w का सम्मिश्र संयुग्मी लेने पर:

w̄ = (z̄ - 1) / (z̄ + 1)

चूँकि z̄ = 1/z:

w̄ = (1/z - 1) / (1/z + 1)

= [(1 - z)/z] / [(1 + z)/z]

= (1 - z) / (1 + z)

= -(z - 1) / (z + 1)

= -w

चूँकि w̄ = -w, अतः w = (z - 1)/(z + 1) एक शुद्ध काल्पनिक संख्या है।

अतः उत्तर:

इति सिद्धम्।

दिया है:

चेस बोर्ड में कुल वर्ग = 64

सफेद वर्ग = 32

काले वर्ग = 32

चुने जाने वाले वर्गों की संख्या = 3

ज्ञात सूत्र:

प्रायिकता P(E) = n(E) / n(S)

हल:

64 वर्गों में से 3 वर्ग चुनने के कुल तरीके n(S):

n(S) = ⁶⁴C₃ = (64 × 63 × 62) / (3 × 2 × 1) = 41664

अनुकूल स्थितियाँ n(E):

दो वर्ग एक रंग के (माना सफेद) और एक वर्ग दूसरे रंग का (काला) हो, अथवा दो वर्ग काले और एक वर्ग सफेद हो।

n(E) = (³²C₂ × ³²C₁) + (³²C₂ × ³²C₁)

= 2 × (³²C₂ × ³²C₁)

गणना:

³²C₂ = (32 × 31) / 2 = 496

³²C₁ = 32

n(E) = 2 × 496 × 32 = 31744

प्रायिकता P(E) = 31744 / 41664

1984 से अंश और हर को विभाजित करने पर:

P(E) = 16 / 21

अतः उत्तर:

16/21

दिया है:

मानों (xi) की सूची: 4, 8, 11, 17, 20, 24, 32

बारंबारता (fi) की सूची: 3, 5, 9, 5, 4, 3, 1

ज्ञात सूत्र:

माध्य (x̄) = Σ (fi × xi) / N

प्रसरण (σ²) = Σ fi × (xi - x̄)² / N

मानक विचलन (σ) = √प्रसरण

हल:

कुल बारंबारता N = Σ fi = 3 + 5 + 9 + 5 + 4 + 3 + 1 = 30

Σ (fi × xi) की गणना:

4 × 3 = 12

8 × 5 = 40

11 × 9 = 99

17 × 5 = 85

20 × 4 = 80

24 × 3 = 72

32 × 1 = 32

Σ (fi × xi) = 12 + 40 + 99 + 85 + 80 + 72 + 32 = 420

माध्य (x̄) = 420 / 30 = 14

प्रत्येक पद के लिए fi × (xi - x̄)² की गणना:

3 × (4 - 14)² = 3 × 100 = 300

5 × (8 - 14)² = 5 × 36 = 180

9 × (11 - 14)² = 9 × 9 = 81

5 × (17 - 14)² = 5 × 9 = 45

4 × (20 - 14)² = 4 × 36 = 144

3 × (24 - 14)² = 3 × 100 = 300

1 × (32 - 14)² = 1 × 324 = 324

Σ fi × (xi - x̄)² = 300 + 180 + 81 + 45 + 144 + 300 + 324 = 1374

प्रसरण (σ²) = 1374 / 30 = 45.8

मानक विचलन (σ) = √45.8 ≈ 6.77

अतः उत्तर: प्रसरण = 45.8 तथा मानक विचलन = 6.77 (लगभग)

दिया है:

फलन y = (x sin x + cos x)(x cos x - sin x)

ज्ञात सूत्र:

दो फलनों के गुणनफल का अवकलन नियम: d/dx [ u × v ] = u × (dv/dx) + v × (du/dx)

d/dx (sin x) = cos x

d/dx (cos x) = -sin x

हल:

माना u = x sin x + cos x

तथा v = x cos x - sin x

प्रथम फलन u का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

du/dx = d/dx (x sin x + cos x)

du/dx = (1 × sin x + x cos x) - sin x

du/dx = sin x + x cos x - sin x

du/dx = x cos x

द्वितीय फलन v का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

dv/dx = d/dx (x cos x - sin x)

dv/dx = (1 × cos x - x sin x) - cos x

dv/dx = cos x - x sin x - cos x

dv/dx = -x sin x

गुणन सूत्र का प्रयोग करने पर:

dy/dx = u × (dv/dx) + v × (du/dx)

dy/dx = (x sin x + cos x)(-x sin x) + (x cos x - sin x)(x cos x)

dy/dx = -x² sin² x - x sin x cos x + x² cos² x - x sin x cos x

dy/dx = x² (cos² x - sin² x) - 2x sin x cos x

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का प्रयोग करने पर:

cos² x - sin² x = cos 2x

2 sin x cos x = sin 2x

मान प्रतिस्थापित करने पर:

dy/dx = x² cos 2x - x sin 2x

अतः उत्तर: x² cos 2x - x sin 2x