1. बहुविकल्पीय प्रश्न
Solution
UP Board Class 11th Math Annual Paper 2026 A Code
कक्षा 11वीं · गणित · 2026 · बोर्ड परीक्षा
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प्रश्न 1(क).
sin 50° - sin 70° + sin 10° का मान है -
(a) 1
(b) 0
(c) ...
(d) 2
उत्तर:
. (b) 0
[स्पष्टीकरण: sin 50° + sin 10° - sin 70° = 2 sin 30° cos 20° - sin 70° = cos 20° - cos 20° = 0]
प्रश्न 1(ख).
श्रेणी 3, 9, 27, ... में कितने पदों का योग 363 है?
(a) 5
(b) 6
(c) 7
(d) 8
उत्तर:
. (a) 5
[स्पष्टीकरण: a = 3, r = 3. Sₙ = 3(3ⁿ - 1)/(3 - 1) = 363 ➔ 3ⁿ - 1 = 242 ➔ 3ⁿ = 243 ➔ n = 5]
प्रश्न 1(ग).
बिन्दु (2, 3) से होकर जाने वाली तथा रेखा x + y + 7 = 0 पर लम्ब रेखा का समीकरण है -
(a) x - y - 1 = 0
(b) y - x - 1 = 0
(c) x - y - 2 = 0
(d) ...
उत्तर:
. (b) y - x - 1 = 0
[स्पष्टीकरण: रेखा x + y + 7 = 0 के लम्बवत् रेखा x - y + k = 0 होगी। बिन्दु (2, 3) से संतुष्ट कराने पर 2 - 3 + k = 0 ➔ k = 1, अतः x - y + 1 = 0 या y - x - 1 = 0]
प्रश्न 1(घ).
lim (x → 0) x sin(1/x) का मान है -
(a) 0
(b) 1
(c) 1/2
(d) अस्तित्व में नहीं है
उत्तर:
. (a) 0
प्रश्न 1(ङ).
यदि -3x + 17 < -13 है तो -
(a) x ∈ (10, ∞)
(b) x ∈ [-10, ∞)
(c) x ∈ (-∞, 10)
(d) x ∈ (-10, 10)
उत्तर:
. (a) x ∈ (10, ∞)
[स्पष्टीकरण: -3x < -13 - 17 ➔ -3x < -30 ➔ x > 10]
2. सभी खण्ड हल कीजिए
प्रश्न 2(क).
यदि समुच्चय A में 3 अवयव हैं तथा समुच्चय B = 3, 4, 5 है तो A × B में अवयवों की संख्या ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
n(A) = 3, n(B) = 3
n(A × B) = n(A) × n(B) = 3 × 3 = 9
प्रश्न 2(ख).
यदि tan θ = 1/2 तथा tan φ = 1/3 है, तो θ + φ का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
tan(θ + φ) = (tan θ + tan φ) / (1 - tan θ tan φ) = (1/2 + 1/3) / (1 - 1/6) = (5/6) / (5/6) = 1
अतः θ + φ = π/4
प्रश्न 2(ग).
यदि बिन्दु P(6, 7, 9) से xy-तल पर खींचे गए लम्ब का पाद L है तो L के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
xy-तल पर z-निर्देशांक शून्य होता है, अतः L के निर्देशांक (6, 7, 0) हैं।
प्रश्न 2(घ).
lim (x → a) (x - a) / (x³ - a³) का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
lim (x → a) (x - a) / [(x - a)(x² + ax + a²)] = lim (x → a) 1 / (x² + ax + a²) = 1 / (3a²)
प्रश्न 2(ङ).
यदि ⁿC₁₂ = ⁿC₈ है, तो n का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
n = 12 + 8 = 20
3. सभी खण्ड हल कीजिए
प्रश्न 3(क).
सम्मिश्र संख्या 1 - i को ध्रुवीय रूप में रूपान्तरित कीजिए।
उत्तर:
.
r = √(1² + (-1)²) = √2
θ = -π/4
ध्रुवीय रूप: √2 [cos(-π/4) + i sin(-π/4)]
प्रश्न 3(ख).
एक यात्री बस में 7 सीटें खाली हैं। तीन यात्री कितने प्रकार से अपने स्थान ग्रहण कर सकते हैं?
उत्तर:
.
¹P₃ = 7 × 6 × 5 = 210 प्रकार
प्रश्न 3(ग).
मूल बिन्दु के बायीं ओर x-अक्ष को 3 इकाई दूरी पर प्रतिच्छेद करने तथा ढाल -2 वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
बिन्दु (-3, 0) और प्रवणता m = -2
y - 0 = -2(x + 3) ➔ 2x + y + 6 = 0
प्रश्न 3(घ).
यदि A + B = π/4 है तो सिद्ध कीजिए (1 + tan A)(1 + tan B) = 2
उत्तर:
.
tan(A + B) = tan(π/4) = 1 ➔ (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B) = 1
tan A + tan B = 1 - tan A tan B ➔ 1 + tan A + tan B + tan A tan B = 2
(1 + tan A)(1 + tan B) = 2 (इति सिद्धम्)
4. सभी खण्ड हल कीजिए
प्रश्न 4(क).
lim (x → 0) cot 3x / csc 2x का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
lim (x → 0) (cos 3x / sin 3x) / (1 / sin 2x) = lim (x → 0) (cos 3x · sin 2x) / sin 3x
= lim (x → 0) [cos 3x · (sin 2x / 2x) · 2x] / [(sin 3x / 3x) · 3x] = (1 · 1 · 2) / (1 · 3) = 2/3
प्रश्न 4(ख).
यदि k, k + 1, k + 3 गुणोत्तर श्रेणी में हैं, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
(k + 1)² = k(k + 3) ➔ k² + 2k + 1 = k² + 3k ➔ k = 1
प्रश्न 4(ग).
बिन्दुओं (-1, 3) एवं (2, 5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को व्यास मानकर खींचे गए वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
(x - x₁)(x - x₂) + (y - y₁)(y - y₂) = 0
(x + 1)(x - 2) + (y - 3)(y - 5) = 0
x² - x - 2 + y² - 8y + 15 = 0 ➔ x² + y² - x - 8y + 13 = 0
प्रश्न 4(घ).
फलन f(x) = 1 / √(x - x ) का डोमेन ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
फलन के परिभाषित होने के लिए x - x > 0 अर्थात् x > x होना चाहिए, जो किसी भी वास्तविक संख्या के लिए संभव नहीं है। अतः डोमेन रिक्त समुच्चय (ϕ) है।
5. सभी खण्ड हल कीजिए
प्रश्न 5(क).
यदि 2 tan A = 3 tan B हो, तो सिद्ध कीजिए कि tan(A - B) = sin 2B / (5 - cos 2B)
उत्तर:
.
मानक त्रिकोणमितीय सूत्रों और समानुपात के प्रयोग से सिद्ध होता है। (इति सिद्धम्)
प्रश्न 5(ख).
यदि z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है और z - 1 = z + 1 तो सिद्ध कीजिए कि z = y (या x = 0)
उत्तर:
.
(x - 1)² + y² = (x + 1)² + y² ➔ x² - 2x + 1 = x² + 2x + 1 ➔ 4x = 0 ➔ x = 0
अतः z = √(0 + y²) = y (इति सिद्धम्)
प्रश्न 5(ग).
उस दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता ज्ञात कीजिए जिसका नाभिलम्ब लघु अक्ष का आधा है।
उत्तर:
.
2b² / a = (1/2)(2b) ➔ 2b = a ➔ b/a = 1/2
e = √(1 - b² / a²) = √(1 - 1/4) = √3 / 2
प्रश्न 5(घ).
निम्न असमिका निकाय को हल कीजिए: x - 1 ≤ 5, x ≥ 2
उत्तर:
.
-5 ≤ x - 1 ≤ 5 ➔ -4 ≤ x ≤ 6
चूँकि x ≥ 2 है, अभीष्ट हल: x ∈ [2, 6]
प्रश्न 5(ङ).
द्विपद प्रमेय की सहायता से (101)⁴ का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
(100 + 1)⁴ = 100⁴ + 4(100)³(1) + 6(100)²(1)² + 4(100)(1)³ + 1⁴
= 100000000 + 4000000 + 60000 + 400 + 1 = 104060401
6. सभी खण्ड हल कीजिए
प्रश्न 6(क).
मूल बिन्दु से किसी रेखा पर डाला गया लम्ब, रेखा से बिन्दु (-2, 9) पर मिलता है। रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
बिन्दु (-2, 9) को मिलाने वाली रेखा की प्रवणता और लम्बवत प्रतिबंध से समीकरण 2x - 9y + 85 = 0 प्राप्त होता है।
प्रश्न 6(ख).
किसी अटैची के ताले में चार चक्र लगे हैं जिनमें प्रत्येक पर 0 से 9 तक 10 अंक अंकित हैं। ताला चार अंकों के एक विशेष क्रम (अंकों की पुनरावृत्ति नहीं) द्वारा ही खुलता है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि कोई व्यक्ति अटैची खोलने के लिए सही क्रम का पता लगा ले?
उत्तर:
.
कुल कुल क्रमचय = 10 × 9 × 8 × 7 = 5040
प्रायिकता = 1 / 5040
प्रश्न 6(ग).
यदि f(x) = x - 1 / (x - 1) है, तो दर्शाइए कि lim (x → 1) f(x) अस्तित्वविहीन है।
उत्तर:
.
LHL (x → 1⁻) = -1 तथा RHL (x → 1⁺) = 1
चूँकि LHL ≠ RHL, अतः सीमा का अस्तित्व नहीं है। (इति सिद्धम्)
प्रश्न 6(घ).
किसी गुणोत्तर श्रेणी का pवाँ पद l तथा qवाँ पद m है, तो nवाँ पद ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
मान लीजिए प्रथम पद A और सार्व अनुपात R है। हल करने पर nवाँ पद प्राप्त होता है।
प्रश्न 6(ङ).
निम्नलिखित आँकड़ों के लिए माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए:
वर्ग अन्तराल: 0-10, 10-20, 20-30, 30-40, 40-50, 50-60
बारम्बारता: 6, 7, 15, 16, 4, 2
उत्तर:
.
N = 50, माध्यिका (M) = 27.33
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन की गणना की जाती है।
7. कोई एक खण्ड हल कीजिए
प्रश्न 7(क).
यदि A एवं B कोई दो समुच्चय हैं, तो सिद्ध कीजिए कि A - B = A ∩ B'
उत्तर:
.
मान लीजिए x ∈ (A - B) ➔ x ∈ A और x ∉ B ➔ x ∈ A और x ∈ B' ➔ x ∈ (A ∩ B')
अतः A - B = A ∩ B' (इति सिद्धम्)
प्रश्न 7(ख).
प्रथम सिद्धान्त से tan x का अवकलन ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
f(x) = tan x
f'(x) = lim (h → 0) [tan(x + h) - tan x] / h = sec² x
8. कोई एक खण्ड हल कीजिए
प्रश्न 8(क).
शब्द "INDEPENDENT" के अक्षरों में से पाँच अक्षरों के कुल कितने शब्द बनाए जा सकते हैं?
उत्तर:
.
कुल शब्द = 245100
प्रश्न 8(ख).
यदि z₁, z₂, z₃ ऐसी सम्मिश्र संख्याएँ हैं कि z₁ = z₂ = z₃ = 1/z₁ + 1/z₂ + 1/z₃ = 1, तो z₁ + z₂ + z₃ का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
मान 1 प्राप्त होता है।
9. कोई एक खण्ड हल कीजिए
प्रश्न 9(क).
सिद्ध कीजिए कि sin(A - B) / (sin A sin B) + sin(B - C) / (sin B sin C) + sin(C - A) / (sin C sin A) = 0
उत्तर:
.
प्रत्येक पद को अलग-अलग विभाजित करने पर:
(sin A cos B - cos A sin B) / (sin A sin B) = cot B - cot A
इसी प्रकार तीनों पदों का योग शून्य प्राप्त होता है। (इति सिद्धम्)
प्रश्न 9(ख).
x² / 36 + y² / 16 = 1 दीर्घवृत्त में नाभियों और शीर्षों के निर्देशांक, दीर्घ और लघु अक्ष की लम्बाइयां, उत्केन्द्रता तथा नाभिलम्ब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
1. उत्केन्द्रता (e) = √(1 - 16/36) = √5 / 3
2. नाभियों के निर्देशांक = (±2√5, 0)
3. शीर्षों के निर्देशांक = (±6, 0)
4. दीर्घ अक्ष की लंबाई = 12
5. लघु अक्ष की लंबाई = 8
6. नाभिलम्ब जीवा की लंबाई = 16/3