बहुविकल्पीय प्रश्न
Solution
UP Board Class 11th Math Annual Paper 2026 KPS Paper
कक्षा 11वीं · गणित · 2026 · बोर्ड परीक्षा
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प्रश्न 1.
यदि कोई बिन्दु YZ तल में स्थित हो, तो उसके निर्देशांक होंगे।
उत्तर:
. (ब) (0, y, z)
प्रश्न 2.
lim (x → 0) (1 - cos x) / x का मान होगा।
उत्तर:
. (अ) 0
प्रश्न 3.
निम्नलिखित आंकड़ों में 3, 9, 5, 3, 12, 10, 18, 4, 7, 19, 21 की माध्यिका है-
उत्तर:
. (अ) 9
प्रश्न 4.
यदि A और B दो परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हों, तो P(A ∪ B) होगा।
उत्तर:
. (अ) P(A) + P(B)
प्रश्न 5.
ताश की गड्डी से यादृच्छया एक पत्ता खींचा जाता है। खींचे गये पत्ते का इक्का होने की प्रायिकता होगी।
उत्तर:
. (द) 1/13
प्रश्न 6.
अतिपरवलय x² / 9 - y² / 16 = 1 के नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई होगी।
उत्तर:
. (अ) 32/3
प्रश्न 7.
दीर्घवृत्त x² / 4 + y² / 9 = 1 की उत्केन्द्रता होगी-
उत्तर:
. (अ) √5 / 3
प्रश्न 8.
परवलय y² = 8x की नाभि है।
उत्तर:
. (स) (2, 0)
प्रश्न 9.
वृत्त x² + y² + 8x + 10y - 8 = 0 का केन्द्र होगा।
उत्तर:
. (अ) (-4, -5)
प्रश्न 10.
रेखा 6x + 3y - 5 = 0 की प्रवणता होगी।
उत्तर:
. (द) -2
लघु उत्तरीय प्रश्न
प्रश्न 11(क).
रेखाओं 15x + 8y - 34 = 0 व 15x + 8y + 31 = 0 के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
दूरी d = c₁ - c₂ / √(A² + B²)
= -34 - 31 / √(15² + 8²)
= -65 / √289 = 65 / 17 इकाई
प्रश्न 11(ख).
उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केन्द्र (2, 2) हो तथा बिन्दु (4, 5) से जाता है।
उत्तर:
.
त्रिज्या r = √((4 - 2)² + (5 - 2)²) = √(4 + 9) = √13
वृत्त का समीकरण: (x - 2)² + (y - 2)² = (√13)²
x² + y² - 4x - 4y - 5 = 0
प्रश्न 12(क).
ताश के 52 पत्तों की एक अच्छी तरह फेंटी गई गड्डी से 4 पत्ते निकाले जाते हैं। इस बात की क्या प्रायिकता है कि निकाले गये पत्तों में 3 ईंट तथा 1 हुकुम का पत्ता है।
उत्तर:
.
प्रायिकता = (¹³C₃ × ¹³C₁) / ⁵²C₄ = (286 × 13) / 270725 = 3718 / 270725 ≈ 0.0137
प्रश्न 12(ख).
यदि A और B दो घटनाएँ इस प्रकार हैं कि P(A) = 0.54, P(B) = 0.69 और P(A ∩ B) = 0.35 तो P(A' ∩ B') ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0.54 + 0.69 - 0.35 = 0.88
P(A' ∩ B') = 1 - P(A ∪ B) = 1 - 0.88 = 0.12
प्रश्न 13(क).
lim (x → 0) f(x) का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ f(x) = x /x (x ≠ 0), 0 (x = 0)
उत्तर:
.
LHL (x → 0⁻) = -1 तथा RHL (x → 0⁺) = 1
चूँकि LHL ≠ RHL, अतः सीमा का अस्तित्व नहीं है।
प्रश्न 13(ख).
दर्शाइए कि P(-2, 3, 5), Q(1, 2, 3) और R(7, 0, -1) संरेख हैं।
उत्तर:
.
PQ के दिक अनुपात: (3, -1, -2)
QR के दिक अनुपात: (6, -2, -4) = 2(3, -1, -2)
चूँकि दिक अनुपात समानुपाती हैं और Q उभयनिष्ठ बिंदु है, अतः P, Q, R संरेख हैं। (इति सिद्धम्)
प्रश्न 14(क).
यदि किसी अतिपरवलय की नाभियाँ (±4, 0) तथा नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई 12 है तो, उसका समीकरण ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
ae = 4 और 2b² / a = 12 ➔ b² = 6a
हल करने पर a = 2, b² = 12
अतिपरवलय का समीकरण: x² / 4 - y² / 12 = 1
प्रश्न 14(ख).
उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके दीर्घाक्ष की लम्बाई 16 तथा नाभियाँ (0, ±6) हों।
उत्तर:
.
2b = 16 ➔ b = 8
be = 6 ➔ e = 6/8 = 3/4
a² = b²(1 - e²) = 64(1 - 9/16) = 28
दीर्घवृत्त का समीकरण: x² / 28 + y² / 64 = 1
प्रश्न 15(क).
परवलय x² = -16y में नाभि के निर्देशांक, परवलय का अक्ष, नियता का समीकरण और नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
1. नाभि के निर्देशांक: (0, -4)
2. परवलय का अक्ष: Y-अक्ष (x = 0)
3. नियता का समीकरण: y = 4
4. नाभिलम्ब जीवा की लंबाई: 16
प्रश्न 15(ख).
निम्नलिखित आंकड़ों के लिए माध्यिका ज्ञात कीजिए:
अंक: 0-10, 10-20, 20-30, 30-40, 40-50, 50-60
लड़कियों की सं.: 6, 8, 14, 16, 4, 2
उत्तर:
.
N = 50, N/2 = 25
माध्यिका वर्ग = 20-30
माध्यिका = 20 + [(25 - 14)/14] × 10 = 20 + 7.86 = 27.86
प्रश्न 16.
किसी बिन्दु के लिए रेखा को दर्पण मानते हुए बिन्दु (3, 8) का रेखा x + 3y = 7 में प्रतिबिम्ब ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
प्रतिबिम्ब के निर्देशांक = (-1, -4)
प्रश्न 17.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो परवलय x² = 12y के शीर्ष को इसकी नाभिलम्ब जीवा के सिरों को मिलाने वाली रेखाओं से बना है।
उत्तर:
.
शीर्ष (0, 0) तथा नाभिलम्ब जीवा के सिरे (-6, 3) और (6, 3) हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2) base × height = (1/2) × 12 × 3 = 18 वर्ग इकाई।
प्रश्न 18.
एक त्रिभुज ABC का केन्द्रक (1, 1, 1) है। यदि A और B के निर्देशांक क्रमशः (3, -5, 7) व (-1, 7, -6) हैं। बिन्दु C के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
मान लीजिए C के निर्देशांक (x, y, z) हैं।
(3 - 1 + x)/3 = 1 ➔ x = 1
(-5 + 7 + y)/3 = 1 ➔ y = 1
(7 - 6 + z)/3 = 1 ➔ z = 2
बिन्दु C के निर्देशांक = (1, 1, 2)