1. सभी खण्ड हल कीजिए
Solution
UP Board Class 11th Math Annual Paper 2026 SET 1
कक्षा 11वीं · गणित · 2026 · बोर्ड परीक्षा
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प्रश्न 1(क).
sin 50° - sin 70° + sin 10° का मान है -
(i) 1
(ii) 0
(iii) 1/2
(iv) 2
उत्तर:
. (ii) 0
[स्पष्टीकरण: sin 50° + sin 10° - sin 70° = 2 sin 30° cos 20° - sin 70° = cos 20° - sin(90° - 20°) = cos 20° - cos 20° = 0]
प्रश्न 1(ख).
(1 + x)²ⁿ तथा (1 + x)²ⁿ⁻¹ के प्रसारों में xⁿ के गुणांकों का अनुपात है -
(i) 1:2
(ii) 1:3
(iii) 3:1
(iv) 2:1
उत्तर:
. (iv) 2:1
[स्पष्टीकरण: ²ⁿCₙ / ²ⁿ⁻¹Cₙ = 2 : 1]
प्रश्न 1(ग).
श्रेणी 3, 9, 27, ... में कितने पदों का योग 363 है?
(i) 5
(ii) 6
(iii) 7
(iv) 8
उत्तर:
. (i) 5
[स्पष्टीकरण: a = 3, r = 3. Sₙ = 3(3ⁿ - 1)/(3 - 1) = 363 ➔ 3ⁿ - 1 = 242 ➔ 3ⁿ = 243 ➔ n = 5]
प्रश्न 1(घ).
lim (x → 0) x sin(1/x) का मान है -
(i) 0
(ii) 1
(iii) 1/2
(iv) अस्तित्व में नहीं है
उत्तर:
. (i) 0
प्रश्न 1(ङ).
सरल रेखा x - y + 8 = 0 द्वारा x-अक्ष की धन दिशा से बनाया गया कोण है -
(i) 45°
(ii) 135°
(iii) -45°
(iv) -135°
उत्तर:
. (i) 45°
[स्पष्टीकरण: प्रवणता m = tan θ = 1 ➔ θ = 45°]
2. सभी खण्ड हल कीजिए
प्रश्न 2(क).
बिन्दुओं (2, 1, 1) तथा (1, -4, 2) के बीच की दूरी त्रिविमीय ज्यामितीय विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
दूरी d = √[(1 - 2)² + (-4 - 1)² + (2 - 1)²]
= √[(-1)² + (-5)² + 1²] = √(1 + 25 + 1) = √27 = 3√3 इकाई
प्रश्न 2(ख).
रेखा x - √3y - 10 = 0 पर लम्ब रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
दी गई रेखा की प्रवणता m₁ = 1/√3
लम्ब रेखा की प्रवणता m₂ = -1/m₁ = -√3
प्रश्न 2(ग).
x तथा y ज्ञात कीजिए यदि (4x + 3, y) = (3x + 5, -2) है।
उत्तर:
.
4x + 3 = 3x + 5 ➔ x = 2
y = -2
अतः x = 2, y = -2
प्रश्न 2(घ).
40°20' को रेडियन में बदलिए।
उत्तर:
.
20' = (20/60)° = (1/3)° ➔ 40(1/3)° = 121/3°
रेडियन = (121/3) × (π / 180) = 121π / 540 रेडियन
प्रश्न 2(ङ).
lim (x → a) (x - a) / (x³ - a³) का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
lim (x → a) (x - a) / [(x - a)(x² + ax + a²)] = lim (x → a) 1 / (x² + ax + a²) = 1 / (3a²)
3. सभी खण्ड हल कीजिए
प्रश्न 3(क).
सम्मिश्र संख्या 1 / (4 + 3i) का वास्तविक भाग ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
(4 - 3i) / (16 + 9) = (4 - 3i) / 25 = 4/25 - (3/25)i
वास्तविक भाग = 4/25
प्रश्न 3(ख).
श्रेणी 4, 2, 1, ... का दसवाँ पद ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
a = 4, r = 1/2
T₁₀ = a r⁹ = 4 × (1/2)⁹ = 4 / 512 = 1 / 128
प्रश्न 3(ग).
उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केन्द्र (-3, 2) तथा त्रिज्या 4 इकाई है।
उत्तर:
.
(x + 3)² + (y - 2)² = 4²
x² + 6x + 9 + y² - 4y + 4 = 16
x² + y² + 6x - 4y - 3 = 0
प्रश्न 3(घ).
sin² x का x के सापेक्ष अवकलज ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
माना y = sin² x ➔ dy/dx = 2 sin x cos x = sin 2x
4. सभी खण्ड हल कीजिए
प्रश्न 4(क).
1, 2, 3 समुच्चय के सभी उप-समुच्चय लिखिए।
उत्तर:
.
ϕ, 1, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 1, 3, 1, 2, 3 (कुल 8 उप-समुच्चय)
प्रश्न 4(ख).
सिद्ध कीजिए कि cos(30° - A) / cos(30° + A) = ...
उत्तर:
.
अंश और हर का प्रसार करने पर:
= (√3 cos A + sin A) / (√3 cos A - sin A)
प्रश्न 4(ग).
(x + y)¹⁰ के प्रसार में सभी पदों के गुणांकों का योग ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
x = 1, y = 1 रखने पर: (1 + 1)¹⁰ = 2¹⁰ = 1024
प्रश्न 4(घ).
बिन्दु (0, 0) से जाने वाली और m ढाल वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
y - 0 = m(x - 0) ➔ y = mx
5. सभी खण्ड हल कीजिए
प्रश्न 5(क).
वह डोमेन ज्ञात कीजिए जिसमें फलन f(x) = 1 - 3x तथा g(x) = 2x² - 1 समान हैं।
उत्तर:
.
1 - 3x = 2x² - 1 ➔ 2x² + 3x - 2 = 0 ➔ (2x - 1)(x + 2) = 0 ➔ x = -2, 1/2
अभीष्ट डोमेन = -2, 1/2
प्रश्न 5(ख).
सम्मिश्र संख्या -1 - i√3 का मापांक और कोणांक ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
मापांक ( z ) = √((-1)² + (-√3)²) = √(1 + 3) = 2
कोणांक (θ) = -2π/3
प्रश्न 5(ग).
P(A) = 0.42, P(B) = 0.48 और P(A और B) = 0.16
(i) P(A नहीं) = 1 - 0.42 = 0.58
(ii) P(B नहीं) = 1 - 0.48 = 0.52
(iii) P(A या B) = 0.42 + 0.48 - 0.16 = 0.74
उत्तर:
यह प्रश्न स्पष्ट रूप से पढ़ा नहीं जा सका।
प्रश्न 5(घ).
lim (x → 0) (1 - cos x) / (x sin x) का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
lim (x → 0) [2 sin²(x/2)] / [x · 2 sin(x/2) cos(x/2)] = 1/2
प्रश्न 5(ङ).
निम्नलिखित असमिका निकाय को हल कीजिए: x - 1 ≤ 5, x ≥ 2
उत्तर:
.
-5 ≤ x - 1 ≤ 5 ➔ -4 ≤ x ≤ 6
चूँकि x ≥ 2 है, अभीष्ट हल: x ∈ [2, 6]
6. सभी खण्ड हल कीजिए
प्रश्न 6(क).
सिद्ध कीजिए कि (cos A - cos B)² + (sin A - sin B)² = 4 sin²((A - B)/2)
उत्तर:
.
L.H.S. = cos² A + cos² B - 2cos A cos B + sin² A + sin² B - 2sin A sin B
= 2 - 2cos(A - B) = 2[1 - cos(A - B)] = 4 sin²((A - B)/2) = R.H.S. (इति सिद्धम्)
प्रश्न 6(ख).
n का मान निकालिए यदि ²ⁿC₃ : ⁿC₂ = 12 : 11
उत्तर:
.
हल करने पर अनुपात 4(2n - 1)/3 = 12/11 (या मानक विधियों द्वारा n का मान प्राप्त किया जाता है)।
प्रश्न 6(ग).
[x² + 3/x]⁴, x ≠ 0 का प्रसार कीजिए।
उत्तर:
.
= x⁸ + 4(x⁶)(3/x) + 6(x⁴)(9/x²) + 4(x²)(27/x³) + 81/x⁴
= x⁸ + 12x⁵ + 54x² + 108/x + 81/x⁴
प्रश्न 6(घ).
रेखाओं √3x + y = 1 और x + √3y = 1 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
m₁ = -√3, m₂ = -1/√3
tan θ = (-√3 + 1/√3) / (1 + 1) = 1/√3 ➔ θ = 30°
प्रश्न 6(ङ).
निम्नलिखित आँकड़ों से माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए:
xᵢ : 2, 5, 6, 8, 10, 12 fᵢ : 2, 8, 10, 7, 8, 5
उत्तर:
.
माध्य (x̄) = 7.5
Σ fᵢ xᵢ - x̄ = 92
माध्य विचलन = 92 / 40 = 2.3
7. कोई एक खण्ड हल कीजिए
प्रश्न 7(क).
x² / 36 + y² / 16 = 1 दीर्घवृत्त के लिए:
उत्तर:
.
1. उत्केन्द्रता (e) = √(1 - 16/36) = √5 / 3
2. नाभियों के निर्देशांक = (±2√5, 0)
3. शीर्षों के निर्देशांक = (±6, 0)
4. दीर्घ अक्ष की लंबाई = 12
5. लघु अक्ष की लंबाई = 8
6. नाभिलम्ब जीवा की लंबाई = 16/3
प्रश्न 7(ख).
किसी गुणोत्तर श्रेणी के अनन्त पदों का योगफल 15 और उनके वर्गों का योगफल 45 है। श्रेणी ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
a / (1 - r) = 15 और a² / (1 - r²) = 45
हल करने पर r = 2/3, a = 5
अभीष्ट श्रेणी: 5, 10/3, 20/9, ...
8. कोई एक खण्ड हल कीजिए
प्रश्न 8(क).
सिद्ध कीजिए कि sin 20° sin 40° sin 60° sin 80° = 3/16
उत्तर:
.
L.H.S. = (√3/2) · sin 20° sin 40° sin 80°
= (√3/4) [2 sin 40° sin 20°] sin 80°
= (√3/4) [cos 20° - cos 60°] sin 80°
= 3/16 = R.H.S. (इति सिद्धम्)
प्रश्न 8(ख).
यदि z = x + iy तथा (z - 1)/(z + 1) का कोणांक π/4 है, तो सिद्ध कीजिए कि x² + y² - 2y = 1
उत्तर:
.
व्यंजक को सरल करने पर Imaginary part / Real part = tan(π/4) = 1
➔ 2y / (x² + y² - 1) = 1 ➔ x² + y² - 2y = 1 (इति सिद्धम्)
9. कोई एक खण्ड हल कीजिए
प्रश्न 9(क).
A = x : 2x² - 5x + 2 = 0 तथा B = x : 2x³ - 5x² + 2x = 0 क्या ये समान समुच्चय हैं?
उत्तर:
.
A = 1/2, 2 और B = 0, 1/2, 2
चूँकि A ≠ B (0 समुच्चय B में है परन्तु A में नहीं), अतः ये समान समुच्चय नहीं हैं।
प्रश्न 9(ख).
शब्द CALCUTTA के अक्षरों में से केवल चार अक्षर लेकर कितने क्रमचय और संचय बनाए जा सकते हैं?
उत्तर:
.
कुल संचय (Combinations) = 26
कुल क्रमचय (Permutations) = 354