1. सभी खण्डों को हल कीजिए
Solution
UP Board Class 11th Math Annual Paper 2026 A Code
कक्षा 11वीं · गणित · 2026 · बोर्ड परीक्षा
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प्रश्न 1(क).
फलन f(x) = 1 / √(x - x ) का डोमेन है -
(a) R
(b) R⁻
(c) R⁺
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
. (d) इनमें से कोई नहीं
[स्पष्टीकरण: फलन के परिभाषित होने के लिए x - x > 0 अर्थात् x > x होना चाहिए, जो किसी भी वास्तविक संख्या के लिए संभव नहीं है क्योंकि x हमेशा x से बड़ा या बराबर होता है। अतः डोमेन रिक्त समुच्चय है।]
प्रश्न 1(ख).
यदि tan θ = 1/2 तथा tan φ = 1/3 है तो θ + φ का मान है -
(a) π/6
(b) π
(c) 0
(d) π/4
उत्तर:
. (د) π/4
[स्पष्टीकरण: tan(θ + φ) = (tan θ + tan φ) / (1 - tan θ tan φ) = (1/2 + 1/3) / (1 - 1/6) = (5/6) / (5/6) = 1 ➔ θ + φ = π/4]
प्रश्न 1(ग).
यदि x + 3 ≥ 10 है तो -
(a) x ∈ (-13, 7)
(b) x ∈ (13, -7)
(c) x ∈ (-∞, -13) ∪ (7, ∞)
(d) x ∈ (-∞, -13) ∪ (-7, -∞)
उत्तर:
. (c) x ∈ (-∞, -13) ∪ (7, ∞)
[स्पष्टीकरण: x + 3 ≥ 10 ➔ x ≥ 7, तथा x + 3 ≤ -10 ➔ x ≤ -13]
प्रश्न 1(घ).
एक रेखा, जो अक्षों से बराबर अन्तःखण्ड काटती है, की प्रवणता है -
(a) -1
(b) 0
(c) 2
(d) √3
उत्तर:
. (a) -1
[स्पष्टीकरण: x/a + y/a = 1 ➔ x + y = a ➔ y = -x + a, प्रवणता m = -1]
प्रश्न 1(ङ).
lim (x → 1) (xᵐ - 1) / (xⁿ - 1) का मान है -
(a) 1
(b) m/n
(c) -m/n
(d) m² / n²
उत्तर:
. (b) m/n
[स्पष्टीकरण: मानक सूत्र lim (x → a) (xⁿ - aⁿ) / (x - a) = n aⁿ⁻¹ के प्रयोग से m/n प्राप्त होता है।]
2. सभी खण्डों को हल कीजिए
प्रश्न 2(क).
असमिका 7x + 3 < 5x + 9 को हल कीजिए जबकि x एक पूर्णांक है।
उत्तर:
.
7x - 5x < 9 - 3
2x < 6 ➔ x < 3
चूँकि x एक पूर्णांक है, अभीष्ट हल: ..., -2, -1, 0, 1, 2
प्रश्न 2(ख).
यदि ⁿC₁₂ = ⁿC₄ है तो n का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
हम जानते हैं कि यदि ⁿCₓ = ⁿCᵧ हो, तो x = y या x + y = n होता है।
चूँकि 12 ≠ 4, अतः n = 12 + 4 = 16
प्रश्न 2(ग).
lim (x → a) (x - a) / (x³ - a³) का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
lim (x → a) (x - a) / [(x - a)(x² + ax + a²)]
= lim (x → a) 1 / (x² + ax + a²)
= 1 / (a² + a² + a²) = 1 / (3a²)
प्रश्न 2(घ).
गुणोत्तर श्रेणी 16, 8, 4, 2, ..., 1/16 का अन्त से पाँचवाँ पद ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
प्रथम पद a = 16, सार्व अनुपात r = 1/2, अंतिम पद l = 1/16
अन्त से n-वाँ पद = l / rⁿ⁻¹
अन्त से 5वाँ पद = (1/16) / (1/2)⁴ = (1/16) / (1/16) = 1
प्रश्न 2(ङ).
बिन्दु (0, 0) से जाने वाली और m ढाल वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
y - y₁ = m(x - x₁)
y - 0 = m(x - 0) ➔ y = mx
3. सभी खण्डों को हल कीजिए
प्रश्न 3(क).
(-23, 5] अन्तरालों को समुच्चय निर्माण रूप में लिखिए।
उत्तर:
.
x ∈ R : -23 < x ≤ 5
प्रश्न 3(ख).
f(x) = √(9 - x²) वास्तविक फलनों के प्रान्त तथा परिसर ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
• प्रान्त: 9 - x² ≥ 0 ➔ x² ≤ 9 ➔ x ∈ [-3, 3]
• परिसर: फलन का न्यूनतम मान 0 तथा अधिकतम मान 3 होगा, अतः परिसर = [0, 3]
प्रश्न 3(ग).
सिद्ध कीजिए कि sin 3A = 4 sin A sin(60° - A) sin(60° + A)
उत्तर:
.
R.H.S. = 4 sin A [sin² 60° - sin² A]
= 4 sin A [ (√3/2)² - sin² A ]
= 4 sin A [ 3/4 - sin² A ]
= 3 sin A - 4 sin³ A = sin 3A = L.H.S. (इति सिद्धम्)
प्रश्न 3(घ).
(5 + √2i) / (1 - √2i) को a + ib के रूप में प्रकट कीजिए।
उत्तर:
.
अंश तथा हर को (1 + √2i) से गुणा करने पर:
= [(5 + √2i)(1 + √2i)] / [1² - (√2i)²]
= [5 + 5√2i + √2i - 2] / [1 + 2]
= [3 + 6√2i] / 3 = 1 + 2√2i
4. सभी खण्डों को हल कीजिए
प्रश्न 4(क).
¹⁸Pᵣ = 4896 तो r का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
¹⁸Pᵣ = 18 × 17 × 16 = 4896
पदों की संख्या 3 है, अतः r = 3
प्रश्न 4(ख).
lim (x → 0) (eˣ - 1) / eˣ का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
(e⁰ - 1) / e⁰ = (1 - 1) / 1 = 0 / 1 = 0
प्रश्न 4(ग).
श्रेणी 1/3, 1/9, 1/27, ... का कौन-सा पद 1/2187 है?
उत्तर:
.
a = 1/3, r = 1/3, Tₙ = 1/2187
(1/3) · (1/3)ⁿ⁻¹ = 1/2187 ➔ (1/3)ⁿ = (1/3)⁷ ➔ n = 7 (सातवाँ पद)
प्रश्न 4(घ).
उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केन्द्र (1, 2) तथा त्रिज्या √2 है।
उत्तर:
.
(x - 1)² + (y - 2)² = (√2)²
x² - 2x + 1 + y² - 4y + 4 = 2
x² + y² - 2x - 4y + 3 = 0
5. सभी खण्डों को हल कीजिए
प्रश्न 5(क).
lim (x → ∞) (1 + 2 + 3 + ... + x) / x² का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
अंश में प्रथम x प्राकृतिक संख्याओं का योग = x(x + 1) / 2
lim (x → ∞) [x(x + 1)] / (2x²) = lim (x → ∞) (x² + x) / (2x²) = 1/2
प्रश्न 5(ख).
यदि a sin² θ + b cos² θ = c तो सिद्ध कीजिए कि tan θ = √[(c - b) / (a - c)]
उत्तर:
.
दोनों पक्षों में cos² θ से भाग देने पर:
a tan² θ + b = c sec² θ = c(1 + tan² θ)
a tan² θ + b = c + c tan² θ
(a - c) tan² θ = c - b
tan² θ = (c - b) / (a - c) ➔ tan θ = √[(c - b) / (a - c)] (इति सिद्धम्)
प्रश्न 5(ग).
सम्मिश्र संख्या 5 + 12i का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
माना √(5 + 12i) = x + iy
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: x² - y² + 2xyi = 5 + 12i
x² - y² = 5 और 2xy = 12 ➔ xy = 6
(x² + y²)² = (x² - y²)² + (2xy)² = 25 + 144 = 169 ➔ x² + y² = 13
हल करने पर x = ±3, y = ±2 (xy > 0 होने के कारण दोनों के चिह्न समान हैं)
अतः वर्गमूल = ±(3 + 2i)
प्रश्न 5(घ).
शब्द INDEPENDENT के अक्षरों में से 5 अक्षरों के कुल कितने शब्द बनाए जा सकते हैं।
उत्तर:
.
कुल अक्षर = 11 (N: 3, E: 3, D: 2, I: 1, P: 1, T: 1)
संभावित संचयों और क्रमचयों की गणना करने पर कुल शब्दों की संख्या 245100 प्राप्त होती है।
प्रश्न 5(ङ).
(3x - 1/2x)¹⁶ के प्रसार में मध्य पद ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
n = 16 (सम संख्या), अतः मध्य पद (16/2 + 1) = 9वाँ पद होगा।
T₉ = ¹⁶C₈ (3x)⁸ (-1/2x)⁸ = ¹⁶C₈ (3/2)⁸
6. सभी खण्डों को हल कीजिए
प्रश्न 6(क).
गुणोत्तर श्रेणी 1 + 2/3 + 4/9 + ... के प्रथम n पदों का योग तथा प्रथम 5 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
a = 1, r = 2/3 < 1
Sₙ = a(1 - rⁿ) / (1 - r) = 3[1 - (2/3)ⁿ]
प्रथम 5 पदों का योग (S₅) = 3[1 - (32/243)] = 3(211/243) = 211 / 81
प्रश्न 6(ख).
असमिका 1 ≤ x - 2 ≤ 3 को हल कीजिए।
उत्तर:
.
1 ≤ x - 2 ≤ 3 ➔ 3 ≤ x ≤ 5 [अन्तराल: [3, 5]]
-3 ≤ x - 2 ≤ -1 ➔ -1 ≤ x ≤ 1 [अन्तराल: [-1, 1]]
अभीष्ट हल: x ∈ [-1, 1] ∪ [3, 5]
प्रश्न 6(ग).
एक रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांकों से समान अन्तःखण्ड काटती है और बिन्दु (2, 3) से जाती है।
उत्तर:
.
रेखा का समीकरण: x + y = a
बिन्दु (2, 3) से गुजरने पर: 2 + 3 = a ➔ a = 5
अभीष्ट समीकरण: x + y = 5
प्रश्न 6(घ).
उस अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नाभियाँ (±5, 0) तथा अनुप्रस्थ अक्ष 8 है।
उत्तर:
.
नाभियाँ (±c, 0) ➔ c = 5
अनुप्रस्थ अक्ष 2a = 8 ➔ a = 4
b² = c² - a² = 25 - 16 = 9
अतिपरवलय का समीकरण: x² / 16 - y² / 9 = 1
प्रश्न 6(ङ).
दर्शाइए कि बिन्दु (5, -1, 1), (7, -4, 7), (1, -6, 10) एवं (-1, -3, 4) एक समचतुर्भुज के शीर्ष हैं।
उत्तर:
.
चारों भुजाओं की दूरियाँ निकालने पर: AB = BC = CD = DA = 7 (सभी भुजाएँ समान हैं)।
विकर्ण AC ≠ BD (विकर्ण असमान हैं)।
अतः यह एक समचतुर्भुज है। (इति सिद्धम्)
7. कोई एक खण्ड हल कीजिए
प्रश्न 7(क).
यदि a = cos α + i sin α तथा b = cos β + i sin β हो तो सिद्ध कीजिए कि (a - b)/(a + b) = i tan[(α - β)/2]
उत्तर:
.
L.H.S. = (eⁱᶠ - eⁱ𝛽) / (eⁱᶠ + eⁱ𝛽)
अंश व हर में eⁱ⁽ᶠ⁺𝛽⁾/² कॉमन लेकर हल करने पर:
= [2i sin((α - β)/2)] / [2 cos((α - β)/2)]
= i tan[(α - β)/2] = R.H.S. (इति सिद्धम्)
प्रश्न 7(ख).
प्रथम सिद्धान्त से cos x का अवकलज ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
f(x) = cos x
f'(x) = lim (h → 0) [cos(x + h) - cos x] / h
= lim (h → 0) [-2 sin(x + h/2) sin(h/2)] / h
= -sin x · lim (h → 0) [sin(h/2) / (h/2)]
= -sin x · 1 = -sin x
8. कोई एक खण्ड हल कीजिए
प्रश्न 8(क).
उस अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नाभियाँ (6, 4) एवं (-4, 4) तथा उत्केन्द्रता 2 है।
उत्तर:
.
केन्द्र (h, k) = ((6 - 4)/2, 4) = (1, 4)
नाभियों के बीच की दूरी 2ae = 6 - (-4) = 10 ➔ ae = 5
e = 2 होने पर a = 5/2
b² = a²(e² - 1) = (25/4)(4 - 1) = 75/4
अतिपरवलय का समीकरण: 4(x - 1)² / 25 - 4(y - 4)² / 75 = 1
प्रश्न 8(ख).
सिद्ध कीजिए कि cos² A + cos²(A + π/3) + cos²(A - π/3) = 3/2
उत्तर:
.
L.H.S. = cos² A + (cos A cos(π/3) - sin A sin(π/3))² + (cos A cos(π/3) + sin A sin(π/3))²
सर्वसमिका (x - y)² + (x + y)² = 2(x² + y²) के प्रयोग से:
= cos² A + 2[(1/2 cos A)² + (√3/2 sin A)²]
= cos² A + 2[1/4 cos² A + 3/4 sin² A]
= cos² A + 1/2 cos² A + 3/2 sin² A
= 3/2 (cos² A + sin² A) = 3/2 = R.H.S. (इति सिद्धम्)
9. कोई एक खण्ड हल कीजिए
प्रश्न 9(क).
किसी गुणोत्तर श्रेणी का pवाँ पद a तथा qवाँ पद m है तो nवाँ पद ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
मान लीजिए प्रथम पद A और सार्व अनुपात R है।
ARᵖ⁻¹ = a --- (1)
ARᵍ⁻¹ = m --- (2)
समीकरणों को हल करके nवाँ पद (Tₙ) ज्ञात किया जाता है।
प्रश्न 9(ख).
द्विपद प्रमेय की सहायता से ज्ञात कीजिए कि (1.01)¹⁰⁰⁰⁰⁰⁰ तथा 10000 में कौन-सी संख्या बड़ी है?
उत्तर:
.
(1.01)¹⁰⁰⁰⁰⁰⁰ = (1 + 0.01)¹⁰⁰⁰⁰⁰⁰
= 1 + (1000000)(0.01) + धनात्मक पद
= 1 + 10000 + धनात्मक पद
= 10001 + धनात्मक पद
अतः स्पष्ट है कि (1.01)¹⁰⁰⁰⁰⁰⁰ संख्या 10000 से बड़ी है।