1. बहुविकल्पीय प्रश्न
Solution
UP Board Class 11th Math Annual Paper 2025 SET 1
कक्षा 11वीं · गणित · 2025 · बोर्ड परीक्षा
AI-generated solution. Verify important answers/calculations. · महत्वपूर्ण उत्तर एवं गणनाएँ स्वयं जाँच लें।
प्रश्न 1(क).
A = 1, 2, 3, 4, 5, B = 2, 3, 4, 5, 6, 7 तो A ∩ B का मान होगा -
(अ) 2, 3, 4, 5
(ब) 2, 3
(स) 3, 4
(द)
उत्तर:
. (अ) 2, 3, 4, 5
प्रश्न 1(ख).
240° का मान रेडियन में होगा -
(अ) π/6
(ब) 2π/3
(स) 4π/3
(द) 3π/4
उत्तर:
. (स) 4π/3
[स्पष्टीकरण: 240° × (π / 180°) = 4π/3 रेडियन]
प्रश्न 1(ग).
(i⁻³⁶) का मान होगा -
(अ) 1
(ब) 2
(स) i
(द) i²
उत्तर:
. (अ) 1
[स्पष्टीकरण: i⁻³⁶ = 1 / i³⁶ = 1 / (i⁴)⁹ = 1 / (1)⁹ = 1]
प्रश्न 1(घ).
x² / 36 + y² / 16 = 1 में a का मान होगा -
(अ) 4
(ब) 2
(स) 8
(द) 6
उत्तर:
. (द) 6
[स्पष्टीकरण: मानक समीकरण x² / a² + y² / b² = 1 से तुलना करने पर a² = 36 ➔ a = 6]
प्रश्न 1(ङ).
5! का मान होगा —
(अ) 120
(ब) 240
(स) 540
(द) 60
उत्तर:
. (अ) 120
[स्पष्टीकरण: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120]
2. सभी खण्डों को हल करो
प्रश्न 2(क).
⁵P₂ का मान ज्ञात करो।
उत्तर:
.
⁵P₂ = 5! / (5 - 2)! = 5! / 3! = (5 × 4 × 3!) / 3! = 20
प्रश्न 2(ख).
परवलय y² = 12x में नाभि के निर्देशांक ज्ञात करो।
उत्तर:
.
मानक समीकरण y² = 4ax से तुलना करने पर 4a = 12 ➔ a = 3।
नाभि के निर्देशांक (a, 0) = (3, 0)
प्रश्न 2(ग).
lim (x → 3) (x² - 9) / (x - 3) का मान ज्ञात करो।
उत्तर:
.
lim (x → 3) [(x - 3)(x + 3)] / (x - 3) = lim (x → 3) (x + 3) = 3 + 3 = 6
प्रश्न 2(घ).
i⁹ + i¹⁹ को a + ib के रूप में व्यक्त करो।
उत्तर:
.
i⁹ = (i⁴)² · i = i
i¹⁹ = (i⁴)⁴ · i³ = -i
अतः i + (-i) = 0 = 0 + 0i
प्रश्न 2(ङ).
केन्द्र (-2, 3) और त्रिज्या 4 इकाई है तो वृत्त का समीकरण ज्ञात करो।
उत्तर:
.
(x - h)² + (y - k)² = r²
(x - (-2))² + (y - 3)² = 4²
(x + 2)² + (y - 3)² = 16
x² + 4x + 4 + y² - 6y + 9 = 16
x² + y² + 4x - 6y - 3 = 0
3. सभी खण्डों को हल करो
प्रश्न 3(क).
tan x = √3 का व्यापक मान बताओ।
उत्तर:
.
tan x = tan(π/3)
व्यापक हल: x = nπ + π/3, जहाँ n ∈ Z
प्रश्न 3(ख).
√5x² + x + √5 = 0 को हल करो।
उत्तर:
.
श्री धराचार्य सूत्र से: x = [-1 ± √(1² - 4(√5)(√5))] / (2√5)
x = [-1 ± √(1 - 20)] / (2√5) = (-1 ± i√19) / (2√5)
प्रश्न 3(ग).
1/6! + 1/7! = x/8! तो x का मान ज्ञात करो।
उत्तर:
.
1/6! + 1/(7 · 6!) = x / (8 · 7 · 6!)
1 + 1/7 = x / 56
8/7 = x / 56 ➔ x = (8 × 56) / 7 = 64
प्रश्न 3(घ).
गुणोत्तर श्रेणी √3, 3, 3√3, ... का 10वाँ पद ज्ञात करो।
उत्तर:
.
प्रथम पद a = √3, सार्वअनुपात r = 3/√3 = √3
T₁₀ = a r⁹ = √3 · (√3)⁹ = (√3)¹⁰ = (3¹/²)¹⁰ = 3⁵ = 243
4. सभी खण्डों को हल करो
प्रश्न 4(क).
6, 7, 10, 12, 13, 4, 8, 12 का समान्तर माध्य ज्ञात करो।
उत्तर:
.
माध्य = (6 + 7 + 10 + 12 + 13 + 4 + 8 + 12) / 8 = 72 / 8 = 9
प्रश्न 4(ख).
2, 4, 6, 8, 10, 12 की माध्यिका ज्ञात करो।
उत्तर:
.
पदों की संख्या n = 6 (सम)
माध्यिका = (3वाँ पद + 4वाँ पद) / 2 = (6 + 8) / 2 = 7
प्रश्न 4(ग).
lim (x → 2) (3x² - x - 10) / (x² - 4) का मान ज्ञात करो।
उत्तर:
.
lim (x → 2) [(x - 2)(3x + 5)] / [(x - 2)(x + 2)] = lim (x → 2) (3x + 5) / (x + 2)
= (3(2) + 5) / (2 + 2) = 11/4
प्रश्न 4(घ).
अतिपरवलय y² / 9 - x² / 27 = 1 के नाभियों के निर्देशांक तथा उत्केन्द्रता ज्ञात करो।
उत्तर:
.
a² = 9 ➔ a = 3, b² = 27 ➔ b = 3√3
उत्केन्द्रता (e) = √(1 + b² / a²) = √(1 + 27/9) = √4 = 2
नाभियों के निर्देशांक (0, ± ae) = (0, ± 3 × 2) = (0, ± 6)
5. निम्नलिखित में से चार खण्डों को हल करो
प्रश्न 5(क).
निम्नलिखित आँकड़ों से समान्तर माध्य ज्ञात करो:
C.I. : 0-10, 10-20, 20-30, 30-40, 40-50, 50-60
f : 6, 14, 8, 16, 4, 2
उत्तर:
.
मध्यमान (xᵢ): 5, 15, 25, 35, 45, 55
fᵢxᵢ: 30, 210, 200, 560, 180, 110
Σfᵢ = 50, Σfᵢxᵢ = 1290
माध्य (x̄) = 1290 / 50 = 25.8
प्रश्न 5(ख).
निम्नलिखित आँकड़ों से माध्यिका ज्ञात करो:
C.I. : 0-10, 10-20, 20-30, 30-40, 40-50
f : 2, 4, 8, 4, 2
उत्तर:
.
N = 20, N/2 = 10, संचयी बारंबारता (cf): 2, 6, 14, 18, 20
माध्यिका वर्ग = 20-30, l = 20, cf = 6, f = 8, h = 10
माध्यिका = 20 + [(10 - 6) / 8] × 10 = 20 + 5 = 25
प्रश्न 5(ग).
यदि y = (ax + b) / (cx + d) तो dy/dx का मान ज्ञात करो।
उत्तर:
.
भाग नियम से:
dy/dx = [(cx + d) · a - (ax + b) · c] / (cx + d)²
= (acx + ad - acx - bc) / (cx + d)²
= (ad - bc) / (cx + d)²
प्रश्न 5(घ).
यदि y = (sec x - 1) / (sec x + 1) तो dy/dx का मान ज्ञात करो।
उत्तर:
.
y = (1 - cos x) / (1 + cos x) = tan²(x/2)
dy/dx = 2 tan(x/2) · sec²(x/2) · (1/2) = tan(x/2) sec²(x/2)
प्रश्न 5(ङ).
गुणोत्तर श्रेणी √3, 3, 3√3, ..., 729 कौन सा पद है?
उत्तर:
.
a = √3, r = √3, Tₙ = 729
a rⁿ⁻¹ = 729 ➔ (√3)ⁿ = 729 ➔ 3ⁿ/² = 3⁶ ➔ n/2 = 6 ➔ n = 12 (12वाँ पद)
6. निम्नलिखित में से चार खण्डों को हल करो
प्रश्न 6(क).
उस गुणोत्तर श्रेणी का 12वाँ पद ज्ञात करो जिसका 8वाँ पद 192 तथा सार्वअनुपात 2 है।
उत्तर:
.
T₈ = a r⁷ = 192 ➔ a(2)⁷ = 192 ➔ a × 128 = 192 ➔ a = 3/2
T₁₂ = a r¹¹ = (3/2) · (2)¹¹ = 3 × 2¹⁰ = 3072
प्रश्न 6(ख).
यदि किसी समान्तर श्रेणी 25, 22, 19, ... के कुछ पदों का योगफल 116 है तो अन्तिम पद ज्ञात करो।
उत्तर:
.
a = 25, d = -3, Sₙ = 116
116 = (n/2) [50 + (n - 1)(-3)] ➔ 3n² - 53n + 232 = 0 ➔ (3n - 29)(n - 8) = 0 ➔ n = 8
अन्तिम पद T₈ = a + 7d = 25 + 7(-3) = 4
प्रश्न 6(ग).
(3 - 2i)(2 + 3i) / [(1 + 2i)(2 - i)] का संयुग्मी ज्ञात करो।
उत्तर:
.
अंश = 12 + 5i, हर = 4 + 3i
व्यंजक = (12 + 5i) / (4 + 3i) = [(12 + 5i)(4 - 3i)] / 25 = (63 - 16i) / 25
संयुग्मी = 63/25 + (16/25)i
प्रश्न 6(घ).
⁵⁶Pᵣ₊₆ : ⁵⁴Pᵣ₊₃ = 30800 : 1 हो, तो r का मान ज्ञात करो।
उत्तर:
.
[56! / (50 - r)!] / [54! / (51 - r)!] = 30800
56 × 55 × (51 - r) = 30800 ➔ 3080(51 - r) = 30800 ➔ 51 - r = 10 ➔ r = 41
प्रश्न 6(ङ).
यदि किसी समान्तर श्रेणी का pवाँ पद a और qवाँ पद b हो तो सिद्ध करो कि (p + q) पदों का योगफल [(p + q)/2][a + b + (a - b)/(p - q)] होगा।
उत्तर:
.
माना प्रथम पद A और सार्वअंतर D है।
A + (p - 1)D = a, A + (q - 1)D = b ➔ D = (a - b)/(p - q)
Sₚ₊𝂈 = [(p + q)/2] [2A + (p + q - 1)D] को हल करने पर अभीष्ट परिणाम प्राप्त होता है। (इति सिद्धम्)
7. निम्नलिखित में से तीन खण्ड हल करो
प्रश्न 7(क).
ताश के 52 पत्तों में से एक पत्ता निकाला गया है:
(अ) ईंट का पत्ता: 13/52 = 1/4
(ब) इक्का नहीं है: 1 - 4/52 = 12/13
(स) काले रंग का पत्ता: 26/52 = 1/2
(द) ईंट का नहीं है: 1 - 1/4 = 3/4
उत्तर:
यह प्रश्न स्पष्ट रूप से पढ़ा नहीं जा सका।
प्रश्न 7(ख).
C.I. : 0-10, 10-20, 20-30, 30-40, 40-50 f : 4, 2, 8, 4, 2
समान्तर माध्य से माध्य विचलन ज्ञात करो।
उत्तर:
.
N = 20, माध्य (x̄) = 480 / 20 = 24
Σ fᵢ xᵢ - x̄ = 188
माध्य विचलन = 188 / 20 = 9.4
प्रश्न 7(ग).
C.I. : 0-10, 10-20, 20-30, 30-40, 40-50, 50-60 f : 6, 7, 16, 15, 4, 2
माध्यिका से माध्य विचलन ज्ञात करो।
उत्तर:
.
N = 50, माध्यिका (M) = 27.5
Σ fᵢ xᵢ - M = 500
माध्य विचलन = 500 / 50 = 10
प्रश्न 7(घ).
C.I. : 30-40, 40-50, 50-60, 60-70, 70-80, 80-90, 90-100 f : 7, 3, 15, 8, 12, 3, 2
प्रसरण एवं मानक विचलन ज्ञात करो।
उत्तर:
.
N = 50, A = 65, h = 10, Σ fᵢuᵢ = -18, Σ fᵢuᵢ² = 132
माध्य = 61.4
प्रसरण (σ²) = 100 [132/50 - (-18/50)²] = 251.04
मानक विचलन (σ) = √251.04 ≈ 15.84