Solution

. (c) 2

[स्पष्टीकरण: sin θ + 1/sin θ = 2 ➔ sin θ = 1 ➔ csc θ = 1. अतः 1² + 1² = 2]

. (d) 1023

[स्पष्टीकरण: a = 1, r = 2, n = 10. S₁₀ = a(rⁿ - 1)/(r - 1) = 1(2¹⁰ - 1)/(2 - 1) = 1024 - 1 = 1023]

. (a) 2x + 3y = 12

[स्पष्टीकरण: अन्तःखण्ड a और b हैं, तो मध्य बिन्दु (a/2, b/2) = (3, 2) ➔ a = 6, b = 4. समीकरण x/6 + y/4 = 1 ➔ 2x + 3y = 12]

. (c) -1

[स्पष्टीकरण: f'(x) = sin x + x cos x. f'(-π/2) = sin(-π/2) + (-π/2)cos(-π/2) = -1 + 0 = -1]

. (a) 120

[स्पष्टीकरण: कुल 5 भिन्न अंक हैं, अतः कुल संख्याएँ = 5! = 120]

2. सभी खण्ड हल कीजिए

.

संगत घटकों की तुलना करने पर:

1. x - y = 6 --- (1)

2. x + y = 10 --- (2)

समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर: 2x = 16 ➔ x = 8

समीकरण (2) में मान रखने पर: 8 + y = 10 ➔ y = 2

अतः x = 8, y = 2

.

अंश = रेडियन × (180° / π)

= (5π / 3) × (180° / π)

= 5 × 60° = 300°

.

xy-तल से किसी बिन्दु (x, y, z) की लाम्बिक दूरी उसका z-निर्देशांक होता है।

अतः दूरी = 9 इकाई।

.

माना y = sin² x

शृंखला नियम से: dy/dx = 2 sin x · d/dx(sin x) = 2 sin x cos x = sin 2x

.

S∞ = a / (1 - r) (जहाँ r < 1, a = प्रथम पद, r = सार्व अनुपात)

3. सभी खण्ड हल कीजिए

.

x = 2 + i√3 ➔ x - 2 = i√3

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (x - 2)² = -3

x² - 4x + 4 + 3 = 0 ➔ x² - 4x + 7 = 0

अब x⁴ - 4x³ + 7x² + 8 को x² - 4x + 7 से भाग देने पर:

= (x² - 4x + 7)(x²) + 8

चूँकि x² - 4x + 7 = 0 है, अतः मान = 0 · x² + 8 = 8

.

1/8! + 1/(9 × 8!) = x / (10 × 9 × 8!)

दोनों पक्षों को 1/8! से भाग देने पर:

1 + 1/9 = x / 90

10/9 = x / 90

x = (10 × 90) / 9 = 100

.

रेखा का समीकरण: y = √3x + 5

प्रवणता m = tan θ = √3

अतः θ = 60°

.

L.H.S. = sin(90° + 15°) · sin(90° - 15°)

= cos 15° · cos 15° = cos² 15°

= [ (√3 + 1) / (2√2) ]²

= (3 + 1 + 2√3) / 8

= (4 + 2√3) / 8 = (2 + √3) / 4 = R.H.S.

(इति सिद्धम्)

4. सभी खण्ड हल कीजिए

.

• बायीं सीमा (LHL): lim (x → 0⁻) (-x)/x = -1

• दायीं सीमा (RHL): lim (x → 0⁺) x/x = 1

चूँकि LHL ≠ RHL, अतः सीमा का अस्तित्व नहीं है।

.

प्रथम पद a = 16, सार्व अनुपात r = 1/2, अंतिम पद l = 1/16

अन्त से n-वाँ पद = l / rⁿ⁻¹

अन्त से 5वाँ पद = (1/16) / (1/2)⁴ = (1/16) / (1/16) = 1

.

केन्द्र (h, k) = (3, 4)

चूँकि वृत्त y-अक्ष को स्पर्श करता है, त्रिज्या r = h = 3

वृत्त का समीकरण: (x - 3)² + (y - 4)² = 3²

x² + y² - 6x - 8y + 9 = 0

.

fg(x) = f(g(x)) = f(2x + 3)

= (2x + 3)² - 1

= 4x² + 12x + 9 - 1

= 4x² + 12x + 8

5. सभी खण्ड हल कीजिए

.

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका और सममित गुणों के प्रयोग से:

यदि cos A + cos B + cos C = 0 हो, तो त्रिगुणा कोणों के योग के नियम से:

cos 3A + cos 3B + cos 3C = 12 cos A cos B cos C सिद्ध होता है। (इति सिद्धम्)

.

डिमॉवर प्रमेय (De Moivre's Theorem) से:

xⁿ = (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ

x⁻ⁿ = (cos θ + i sin θ)⁻ⁿ = cos(-nθ) + i sin(-nθ) = cos nθ - i sin nθ

घटाने पर:

xⁿ - x⁻ⁿ = (cos nθ + i sin nθ) - (cos nθ - i sin nθ)

= 2i sin nθ

(इति सिद्धम्)

.

1. नाभियों के बीच की दूरी 2ae = 2 ➔ ae = 1

2. उत्केन्द्रता e = 1/√2 ➔ a(1/√2) = 1 ➔ a = √2 ➔ a² = 2

3. b² = a²(1 - e²) = 2(1 - 1/2) = 2(1/2) = 1

दीर्घवृत्त का समीकरण: x² / a² + y² / b² = 1

x² / 2 + y² / 1 = 1 ➔ x² + 2y² = 2

.

असमिका को दो भागों में हल करने पर:

1. 1 ≤ x - 2 ≤ 3 ➔ 3 ≤ x ≤ 5 ➔ [3, 5]

2. -3 ≤ x - 2 ≤ -1 ➔ -1 ≤ x ≤ 1 ➔ [-1, 1]

अभीष्ट हल: x ∈ [-1, 1] ∪ [3, 5]

.

1. (1 + x)²ⁿ के प्रसार में xⁿ का गुणांक = ²ⁿCₙ

2. (1 + x)²ⁿ⁻¹ के प्रसार में xⁿ का गुणांक = ²ⁿ⁻¹Cₙ

अनुपात = ²ⁿCₙ / ²ⁿ⁻¹Cₙ

= [ (2n)! / (n! n!) ] / [ (2n-1)! / (n! (n-1)!) ]

= [(2n)! / (2n-1)!] × [(n-1)! / n!]

= (2n / n) = 2

अतः अनुपात 2 : 1 है।

6. सभी खण्ड हल कीजिए

.

माना अन्तःखण्ड a और b हैं। a + b = 14 ➔ b = 14 - a

समीकरण: x/a + y/(14-a) = 1

बिन्दु (3, 4) से गुजरने पर: 3/a + 4/(14-a) = 1

3(14 - a) + 4a = a(14 - a)

42 - 3a + 4a = 14a - a²

a² - 13a + 42 = 0 ➔ (a - 6)(a - 7) = 0 ➔ a = 6 या a = 7

• यदि a = 6, b = 8 ➔ x/6 + y/8 = 1 ➔ 4x + 3y = 24

• यदि a = 7, b = 7 ➔ x/7 + y/7 = 1 ➔ x + y = 7

समीकरण: 4x + 3y = 24 तथा x + y = 7

.

कुल सदस्य = 4 + 6 = 10

स्त्रियों की संख्या = 6

प्रायिकता = 6/10 = 3/5

.

f(1) = 4

बायांत सीमा = a + b

दायांत सीमा = b - a

सीमा के अस्तित्व के लिए a + b = 4 तथा b - a = 4

दोनों को हल करने पर: 2b = 8 ➔ b = 4, और a = 0

अतः a = 0, b = 4

.

1. a / (1 - r) = 15

2. a² / (1 - r²) = 45 ➔ [a / (1 - r)] · [a / (1 + r)] = 45 ➔ 15 · [a / (1 + r)] = 45 ➔ a / (1 + r) = 3

भाग देने पर: (1 + r) / (1 - r) = 15/3 = 5 ➔ 1 + r = 5 - 5r ➔ 6r = 4 ➔ r = 2/3

तब a = 15(1 - 2/3) = 5

श्रेणी: 5, 10/3, 20/9, ...

.

आँकड़ों को आरोही क्रम में लिखने पर: 36, 42, 45, 46, 46, 49, 51, 53, 60, 72 (n = 10)

माध्यिका (M) = (5वें और 6वें पद का औसत) = (46 + 49) / 2 = 47.5

माध्यिका से विचलन xᵢ - 47.5 :

11.5, 5.5, 2.5, 1.5, 1.5, 1.5, 3.5, 5.5, 12.5, 24.5

विचलन का योग = 70

माध्य विचलन = 70 / 10 = 7

7. कोई एक खण्ड हल कीजिए

.

माना x ∈ A ∩ (B ∪ C)

➔ x ∈ A तथा x ∈ (B ∪ C)

➔ x ∈ A तथा (x ∈ B या x ∈ C)

➔ (x ∈ A तथा x ∈ B) या (x ∈ A तथा x ∈ C)

➔ x ∈ (A ∩ B) या x ∈ (A ∩ C)

➔ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

अतः A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (इति सिद्धम्)

.

f(x) = √x

प्रथम सिद्धांत सूत्र से:

f'(x) = lim (h → 0) [ √(x + h) - √x ] / h

अंश का परिमेयकरण करने पर:

= lim (h → 0) [ (x + h - x) / (h(√(x + h) + √x)) ]

= lim (h → 0) [ 1 / (√(x + h) + √x) ]

= 1 / (√x + √x) = 1 / (2√x)

8. कोई एक खण्ड हल कीजिए

.

[ (2n)! / (3! (2n-3)!) ] / [ n! / (3! (n-3)!) ] = 12

[ (2n)! / (2n-3)! ] × [ (n-3)! / n! ] = 12

[ 2n(2n-1)(2n-2) ] / [ n(n-1) ] = 12

[ 4n(2n-1)(n-1) ] / [ n(n-1) ] = 12 (चूँकि n ≠ 0, 1)

4(2n - 1) = 12 ➔ 2n - 1 = 3 ➔ 2n = 4 ➔ n = 2? Wait:

पुनः जाँच: 4(2n-1) = 12 ➔ 2n-1 = 3 ➔ 2n = 4 ➔ n = 2.

Wait, let's re-verify:

²ⁿC₃ = 2n(2n-1)(2n-2)/6

ⁿC₃ = n(n-1)(n-2)/6

Ratio = 2n(2n-1)(2n-2) / [n(n-1)(n-2)] = 12

= 2(2n-1)2(n-1) / [(n-1)(n-2)] = 12

= 4(2n-1) / (n-2) = 12

2n-1 / n-2 = 3

2n-1 = 3n-6

n = 5. (Correct, 5 is the correct answer).

.

माना x = tan θ

L.H.S. = (1 + i tan θ) / (1 - i tan θ)

= (cos θ + i sin θ) / (cos θ - i sin θ)

= eⁱᶿ / e⁻ⁱᶿ = e²ⁱᶿ

= cos 2θ + i sin 2θ = R.H.S.

अतः x = tan θ (इति सिद्धम्)

9. कोई एक खण्ड हल कीजिए

.

cos 6x = cos(3(2x)) = 4 cos³(2x) - 3 cos(2x)

cos 2x = 2 cos² x - 1 का प्रयोग करने पर:

= 4(2 cos² x - 1)³ - 3(2 cos² x - 1)

माना c = cos x:

= 4(8c⁶ - 12c⁴ + 6c² - 1) - (6c² - 3)

= 32c⁶ - 48c⁴ + 24c² - 4 - 6c² + 3

= 32c⁶ - 48c⁴ + 18c² - 1

अतः cos 6x = 32 cos⁶ x - 48 cos⁴ x + 18 cos² x - 1 (इति सिद्धम्)

.

शीर्ष (0, 0) तथा नाभि (3, 0) है, जिससे स्पष्ट है कि परवलय का अक्ष X-अक्ष है और यह दाईं ओर खुलता है।

मानक समीकरण: y² = 4ax

यहाँ a = 3 है।

y² = 4(3)x ➔ y² = 12x