Solution

. (c) x/b > y/b

[स्पष्टीकरण: ऋणात्मक संख्या (b < 0) से दोनों ओर भाग देने पर असमिका का चिन्ह बदल जाता है।]

. (a) धनात्मक

[स्पष्टीकरण: i²ⁿ = (i²)ⁿ = (-1)ⁿ। यदि n एक प्राकृत संख्या है तो पद +1 और -1 के रूप में परिवर्तित होते हैं, और विभिन्न श्रेणियों के मान 1 या 0 आते हैं, परन्तु दी गई श्रृंखला में सम घातों के अनुसार पदों का मान पूर्णतः धनात्मक पूर्णांक मान की ओर इंगित करता है।]

. (b) 1/2

[स्पष्टीकरण: lim (x → 0) (sin x / x) · (1 / (1 + cos x)) = 1 · (1 / (1 + 1)) = 1/2]

. (a) 45°

[स्पष्टीकरण: रेखा का समीकरण y = x + 8 है। ढाल m = tan θ = 1 ➔ θ = 45°]

. (a) बराबर

[स्पष्टीकरण: xᵖ का गुणांक = ᵖ⁺𝑞Cₚ तथा x𝑞 का गुणांक = ᵖ⁺𝑞C𝑞। द्विपद प्रमेय से ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ होता है, अतः ᵖ⁺𝑞Cₚ = ᵖ⁺𝑞C𝑞]

2. सभी खण्ड हल कीजिए

.

x ∈ ℝ : -3 < x < 0

.

1. B ∩ C = 3, 4 ∩ 4, 5, 6 = 4

2. A × (B ∩ C) = 1, 2, 3 × 4

= (1, 4), (2, 4), (3, 4)

.

मूल बिंदु (0, 0) से रेखा Ax + By + C = 0 पर लम्ब की लंबाई (p):

p = A(0) + B(0) + C / √(A² + B²)

p = 5(0) + 12(0) - 13 / √(5² + 12²)

p = -13 / √(25 + 144) = 13 / √169 = 13 / 13 = 1 इकाई

.

समीकरण को मानक रूप में बदलने पर:

y² = -8(x - 2)

मानक रूप Y² = -4aX से तुलना करने पर:

Y = y, X = x - 2, 4a = 8 ➔ a = 2

परवलय की नियता का समीकरण X = a होता है:

x - 2 = 2

x = 4 या x - 4 = 0

.

बायाँ पक्ष (L.H.S.) = √(2 + √(2 + 2 cos 4θ))

सूत्र 1 + cos 2x = 2 cos² x लागू करने पर (यहाँ 2x = 4θ ➔ x = 2θ):

2 + 2 cos 4θ = 2(1 + cos 4θ) = 2(2 cos² 2θ) = 4 cos² 2θ

मान रखने पर:

= √(2 + √(4 cos² 2θ))

= √(2 + 2 cos 2θ)

पुनः सूत्र 2 + 2 cos 2θ = 2(1 + cos 2θ) = 2(2 cos² θ) = 4 cos² θ लागू करने पर:

= √(4 cos² θ)

= 2 cos θ = दायाँ पक्ष (R.H.S.)

(इति सिद्धम्)

3. सभी खण्ड हल कीजिए

.

चूँकि 1/i = -i होता है:

(1 - 1/i) = (1 - (-i)) = (1 + i)

अतः व्यंजक = (1 - i)ⁿ (1 + i)ⁿ

= [(1 - i)(1 + i)]ⁿ

= [1² - i²]ⁿ

चूँकि i² = -1:

= [1 - (-1)]ⁿ

= [1 + 1]ⁿ = 2ⁿ

.

3x < 100 ➔ x < 100/3 ➔ x < 33.33...

(i) यदि x एक प्राकृतिक संख्या (Natural Number) है:

x ∈ 1, 2, 3, 4, ......, 33

(ii) यदि x एक पूर्णांक (Integer) है:

x ∈ ......, -3, -2, -1, 0, 1, 2, ......, 33 या (-∞, 33] के पूर्णांक।

.

मानक विचलन के गुणधर्मानुसार, यदि प्रत्येक प्रेक्षण को किसी अचर 'k' से गुणा किया जाता है, तो नया मानक विचलन भी 'k' गुना हो जाता है।

यहाँ k = 3 तथा मूल मानक विचलन σ = 8 है।

नया मानक विचलन = 3 × 8 = 24

.

1. सूत्र cos(-θ) = cos θ से:

cos(-1710°) = cos(1710°)

2. 1710° को 360° के गुणज के रूप में व्यक्त करने पर:

1710° = 5 × 360° - 30° = 1800° - 30°

3. cos(5 × 360° - 30°) = cos(-30°) = cos(30°)

cos(30°) = √3 / 2

4. सभी खण्ड हल कीजिए

.

द्विपद सूत्रानुसार, यदि ⁿCₓ = ⁿC_y हो, तो n = x + y होता है।

यहाँ x = 12 तथा y = 4 है:

n = 12 + 4 = 16

.

दो बिंदुओं (x₁, y₁) = (4, 0) तथा (x₂, y₂) = (0, -3) से जाने वाली रेखा का समीकरण:

y - y₁ = [(y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)] (x - x₁)

मान रखने पर:

y - 0 = [(-3 - 0) / (0 - 4)] (x - 4)

y = (-3 / -4) (x - 4)

y = (3 / 4) (x - 4)

4y = 3x - 12

3x - 4y = 12

(इति सिद्धम्)

.

1. अंश का गुणनखंड:

3x² - x - 10 = 3x² - 6x + 5x - 10 = 3x(x - 2) + 5(x - 2) = (x - 2)(3x + 5)

2. हर का गुणनखंड:

x² - 4 = (x - 2)(x + 2)

3. सीमा में मान रखने पर:

lim (x → 2) [ (x - 2)(3x + 5) ] / [ (x - 2)(x + 2) ]

(x - 2) निरस्त करने पर:

= lim (x → 2) (3x + 5) / (x + 2)

= (3(2) + 5) / (2 + 2)

= (6 + 5) / 4 = 11/4

.

माना गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद A तथा सार्वअनुपात r है।

1. चौथा पद T₄ = A r³ = a

2. सातवाँ पद T₇ = A r⁶ = b

3. दसवाँ पद T₁₀ = A r⁹ = c

अब a × c का मान:

a × c = (A r³) × (A r⁹) = A² r¹² = (A r⁶)²

चूँकि A r⁶ = b है:

a × c = b²

अर्थात b² = ac

(इति सिद्धम्)

5. सभी खण्ड हल कीजिए

.

हम जानते हैं कि: 3A = 2A + A

दोनों तरफ tan लेने पर:

tan 3A = tan(2A + A)

सूत्र tan(X + Y) = (tan X + tan Y) / (1 - tan X tan Y) का प्रयोग करने पर:

tan 3A = (tan 2A + tan A) / (1 - tan 2A tan A)

तिर्यक गुणा (Cross Multiplication) करने पर:

tan 3A (1 - tan 2A tan A) = tan 2A + tan A

tan 3A - tan 3A tan 2A tan A = tan 2A + tan A

पदों का पुनर्विन्यास (Rearranging) करने पर:

tan 3A - tan 2A - tan A = tan 3A tan 2A tan A

अथवा

tan 3A tan 2A tan A = tan 3A - tan 2A - tan A

(इति सिद्धम्)

.

दिया गया है:

x + iy = (a + ib) / (a - ib) --- (समीकरण 1)

दोनों ओर का सम्मिश्र संयुग्मी (Conjugate) लेने पर:

x - iy = (a - ib) / (a + ib) --- (समीकरण 2)

समीकरण (1) और समीकरण (2) का गुणा करने पर:

(x + iy)(x - iy) = [ (a + ib) / (a - ib) ] × [ (a - ib) / (a + ib) ]

x² - (iy)² = 1

चूँकि i² = -1:

x² + y² = 1

(इति सिद्धम्)

.

माना दो क्रमागत सम संख्याएँ x तथा x + 2 हैं।

1. शर्तानुसार: x > 5 तथा (x + 2) > 5

2. योगफल शर्तानुसार:

x + (x + 2) < 23

2x + 2 < 23

2x < 21

x < 10.5

x के सम्भावित सम मान (चूँकि x > 5 तथा सम संख्या है):

x = 6, 8, 10

संगत युग्म (x, x + 2):

• यदि x = 6 ➔ युग्म (6, 8)

• यदि x = 8 ➔ युग्म (8, 10)

• यदि x = 10 ➔ युग्म (10, 12)

अभीष्ट युग्म: (6, 8), (8, 10), (10, 12)

.

नाभियाँ (±ae, 0) = (±3√5, 0) ➔ c = ae = 3√5 ➔ c² = a²e² = 45

नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई = 2b² / a = 8 ➔ b² = 4a

अतिपरवलय के मानक संबंध c² = a² + b² से:

45 = a² + 4a

a² + 4a - 45 = 0

(a + 9)(a - 5) = 0

चूँकि a धनात्मक होना चाहिए, a = 5 ➔ a² = 25

b² = 4(5) = 20

अतिपरवलय का समीकरण:

x² / a² - y² / b² = 1

x² / 25 - y² / 20 = 1

.

1. दिया है: P(E' ∪ F') = 0.25

डी-मॉर्गन नियम द्वारा, E' ∪ F' = (E ∩ F)'

P((E ∩ F)') = 0.25

2. P(E ∩ F) = 1 - P((E ∩ F)') = 1 - 0.25 = 0.75

3. परस्पर अपवर्जी (Mutually Exclusive) घटनाओं के लिए P(E ∩ F) = 0 होना चाहिए।

चूँकि यहाँ P(E ∩ F) = 0.75 ≠ 0 है, अतः घटनाएँ E और F परस्पर अपवर्जी नहीं हैं।

6. सभी खण्ड हल कीजिए

.

y = (x - a)(x - b) = x² - (a + b)x + ab

x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

dy/dx = d/dx [x² - (a + b)x + ab]

dy/dx = 2x - (a + b) + 0

dy/dx = 2x - a - b

.

1. AB के दिक्-अनुपात (Direction Ratios):

a₁ = 2 - 0 = 2

b₁ = -3 - (-11) = 8

c₁ = -1 - 3 = -4

2. BC के दिक्-अनुपात:

a₂ = 4 - 2 = 2

b₂ = 5 - (-3) = 8

c₂ = -5 - (-1) = -4

3. अनुपातों की तुलना करने पर:

a₁/a₂ = 2/2 = 1

b₁/b₂ = 8/8 = 1

c₁/c₂ = -4/-4 = 1

चूँकि दिक्-अनुपात समानुपाती हैं (a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂) तथा बिंदु B उभयनिष्ठ है, अतः बिंदु A, B और C संरेख हैं।

(इति सिद्धम्)

.

शब्द: INVOLUTE (कुल 8 अक्षर)

• स्वर (Vowels) = I, O, U, E (कुल 4)

• व्यंजन (Consonants) = N, V, L, T (कुल 4)

1. 4 स्वरों में से 3 स्वरों को चुनने के तरीके = ⁴C₃ = 4

2. 4 व्यंजनों में से 2 व्यंजनों को चुनने के तरीके = ⁴C₂ = 6

चुने गए कुल अक्षरों की संख्या = 3 + 2 = 5 अक्षर

3. चुने गए 5 अक्षरों को आपस में व्यवस्थित करने के तरीके = 5! = 120

कुल शब्दों की संख्या = ⁴C₃ × ⁴C₂ × 5!

= 4 × 6 × 120 = 2880

.

N = ∑ fᵢ = 3 + 5 + 9 + 5 + 4 + 3 + 1 = 30

1. ∑ fᵢxᵢ की गणना:

(4×3) + (8×5) + (11×9) + (17×5) + (20×4) + (24×3) + (32×1)

= 12 + 40 + 99 + 85 + 80 + 72 + 32 = 420

2. माध्य (x̄) = ∑ fᵢxᵢ / N = 420 / 30 = 14

3. ∑ fᵢ(xᵢ - x̄)² की गणना:

xᵢ - 14 : -10, -6, -3, 3, 6, 10, 18

(xᵢ - 14)² : 100, 36, 9, 9, 36, 100, 324

fᵢ(xᵢ - 14)² : (3×100) + (5×36) + (9×9) + (5×9) + (4×36) + (3×100) + (1×324)

= 300 + 180 + 81 + 45 + 144 + 300 + 324 = 1374

4. प्रसरण (Variance, σ²) = ∑ fᵢ(xᵢ - x̄)² / N = 1374 / 30 = 45.8

5. मानक विचलन (Standard Deviation, σ) = √45.8 ≈ 6.77

.

बायाँ पक्ष (L.H.S.) = (cos A - cos B)² + (sin A - sin B)²

वर्गों का विस्तार करने पर:

= (cos² A - 2 cos A cos B + cos² B) + (sin² A - 2 sin A sin B + sin² B)

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

= (cos² A + sin² A) + (cos² B + sin² B) - 2 (cos A cos B + sin A sin B)

चूँकि cos² θ + sin² θ = 1 तथा cos A cos B + sin A sin B = cos(A - B):

= 1 + 1 - 2 cos(A - B)

= 2 - 2 cos(A - B)

= 2 [1 - cos(A - B)]

सूत्र 1 - cos θ = 2 sin²(θ/2) लागू करने पर:

= 2 [ 2 sin²((A - B)/2) ]

= 4 sin²((A - B)/2) = दायाँ पक्ष (R.H.S.)

(इति सिद्धम्)