Solution

. (स) -1

[स्पष्टीकरण: y = x - π रखने पर, जब x → π तो y → 0 तथा sin x = sin(π + y) = -sin y.

lim (y → 0) (-sin y / y) = -1]

. (अ) n

[स्पष्टीकरण: द्विपद प्रमेय या L'Hôpital नियम से limit = n]

. (स) 8x³ + 1

[स्पष्टीकरण: d/dx (2x⁴ + x) = 2(4x³) + 1 = 8x³ + 1]

. (स) 2x cos x - x² sin x

[स्पष्टीकरण: गुणनफल नियम से: (x²)' cos x + x² (cos x)' = 2x cos x - x² sin x]

. (स) a² = b²(1 - e²)

[स्पष्टीकरण: जब a < b होता है तो मुख्य अक्ष Y-अक्ष होता है तथा a² = b²(1 - e²)]

. (अ) x - 2y + 10 = 0

[स्पष्टीकरण: y - 3 = (1/2)(x - (-4)) ➔ 2y - 6 = x + 4 ➔ x - 2y + 10 = 0]

. (अ) x² + y² = 4

[स्पष्टीकरण: x² + y² = r² ➔ x² + y² = 2² = 4]

. (अ) (0,0)

[स्पष्टीकरण: मानक परवलय y² = 4ax का शीर्ष मूल बिंदु (0,0) होता है।]

. (अ) (±5, 0)

[स्पष्टीकरण: a² = 16, b² = 9 ➔ c = √(a² + b²) = √(16 + 9) = 5. नाभियाँ = (±c, 0) = (±5, 0)]

. (स) 9/11

[स्पष्टीकरण: P(A') = 1 - P(A) = 1 - 2/11 = 9/11]

. (द) 2/3

[स्पष्टीकरण: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 1/2 + 1/3 - 1/6 = (3 + 2 - 1)/6 = 4/6 = 2/3]

. (स) A ∩ B = ∅

[स्पष्टीकरण: परस्पर अपवर्जी (Mutually Exclusive) घटनाओं में कोई उभयनिष्ठ परिणाम नहीं होता, अर्थात A ∩ B = ∅]

. (ब) (1/n) ∑ xᵢ - x̄

[स्पष्टीकरण: माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन का मानक सूत्र (1/n) ∑ xᵢ - x̄ होता है।]

. (स) 4⁵

[स्पष्टीकरण: T₃ = ar² = 4.

प्रथम 5 पदों का गुणनफल = a · (ar) · (ar²) · (ar³) · (ar⁴) = a⁵r¹⁰ = (ar²)⁵ = 4⁵]

. (अ) y - y₁ = [(y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)] (x - x₁)

. (अ) m₁ = m₂

. (द) 20

[स्पष्टीकरण: ⁿCₓ = ⁿC_y ➔ n = x + y ➔ n = 12 + 8 = 20]

. (द) 4

[स्पष्टीकरण: HH, HT, TH, TT ➔ कुल 2² = 4 परिणाम]

. (ब) 6²

[स्पष्टीकरण: कुल अवयव = 6² = 36]

. (ब) 1

2. सभी खण्ड हल कीजिए

.

कुल अंक = 1, 2, 3, 4, 6, 7 (कुल 6 अंक)

सम अंक = 2, 4, 6 (3 विकल्प)

1. इकाई का स्थान भरने के तरीके (सम अंक हेतु) = 3

2. दहाई का स्थान भरने के तरीके = 6 - 1 = 5

3. सैकड़े का स्थान भरने के तरीके = 5 - 1 = 4

कुल 3 अंकीय समसंख्याएँ = 3 × 5 × 4 = 60

.

मान लीजिए रेखा का समीकरण x/a + y/b = 1 है।

दिया है: a + b = 9 ➔ b = 9 - a

रेखा बिन्दु (2, 2) से होकर जाती है:

2/a + 2/(9 - a) = 1

2(9 - a + a) / [a(9 - a)] = 1

18 = 9a - a²

a² - 9a + 18 = 0

(a - 6)(a - 3) = 0

• यदि a = 6 तो b = 3:

x/6 + y/3 = 1 ➔ x + 2y = 6

• यदि a = 3 तो b = 6:

x/3 + y/6 = 1 ➔ 2x + y = 6

अतः समीकरण: x + 2y = 6 तथा 2x + y = 6

.

त्रिज्या r = केन्द्र (2, 2) से बिन्दु (4, 5) की दूरी:

r = √[(4 - 2)² + (5 - 2)²] = √(2² + 3²) = √(4 + 9) = √13

वृत्त का मानक समीकरण (x - h)² + (y - k)² = r² से:

(x - 2)² + (y - 2)² = (√13)²

x² - 4x + 4 + y² - 4y + 4 = 13

x² + y² - 4x - 4y - 5 = 0

.

चूँकि नाभि X-अक्ष के धनात्मक पक्ष पर स्थित (a, 0) = (6, 0) है तथा नियता x = -a = -6 है:

यह एक मानक क्षैतिज परवलय y² = 4ax है।

a = 6 रखने पर:

y² = 4(6)x

y² = 24x

.

y = csc x · cot x

गुणनफल नियम d/dx (u · v) = u v' + v u' से:

dy/dx = csc x · d/dx (cot x) + cot x · d/dx (csc x)

dy/dx = csc x (-csc² x) + cot x (-csc x cot x)

dy/dx = -csc³ x - csc x cot² x

dy/dx = -csc x (csc² x + cot² x)

.

y = (ax + b)ⁿ

शृंखला नियम (Chain Rule) लागू करने पर:

dy/dx = n(ax + b)ⁿ⁻¹ · d/dx (ax + b)

dy/dx = n(ax + b)ⁿ⁻¹ · (a)

dy/dx = n a (ax + b)ⁿ⁻¹

.

अंश और हर को x से विभाजित करने पर:

lim (x → 0) [ (sin ax / x) ] / [ (sin bx / x) ]

= lim (x → 0) [ a · (sin ax / ax) ] / [ b · (sin bx / bx) ]

मानक सीमा lim (t → 0) sin t / t = 1 का प्रयोग करने पर:

= (a · 1) / (b · 1) = a / b

.

1. माध्य (x̄) = (-6 + 7 + 10 + 12 + 13 + 4 + 8 + 12) / 8

x̄ = 60 / 8 = 7.5

2. निरपेक्ष विचलन xᵢ - x̄ :

-6 - 7.5 = 13.5

7 - 7.5 = 0.5

10 - 7.5 = 2.5

12 - 7.5 = 4.5

13 - 7.5 = 5.5

4 - 7.5 = 3.5

8 - 7.5 = 0.5

12 - 7.5 = 4.5

∑ xᵢ - x̄ = 13.5 + 0.5 + 2.5 + 4.5 + 5.5 + 3.5 + 0.5 + 4.5 = 35

3. माध्य विचलन = (1/n) ∑ xᵢ - x̄ = 35 / 8 = 4.375

.

प्रतिदर्श समष्टि S = HH, HT, TH, TT ➔ n(S) = 4

कम से कम एक चित (At least 1 Head) घटना E = HH, HT, TH ➔ n(E) = 3

प्रायिकता P(E) = n(E) / n(S) = 3/4

.

संगत घटकों की तुलना करने पर:

1. x - 2 = 6 ➔ x = 8

2. y + 5 = 7 ➔ y = 2

अतः x = 8 तथा y = 2

3. किन्हीं दस खण्डों को हल कीजिए

.

1. दी गई रेखा x + y + 7 = 0 की प्रवणता (m₁) = -1

2. लम्ब रेखा की प्रवणता m₂ = -1 / (-1) = 1

3. बिन्दु (1, 2) से जाने वाली लम्ब रेखा का समीकरण:

y - 2 = 1(x - 1)

y - 2 = x - 1

x - y + 1 = 0

.

1. दिया है: e = √2 तथा नाभियों के बीच की दूरी 2ae = 16

2a(√2) = 16 ➔ a = 8 / √2 = 4√2 ➔ a² = 32

2. संबंध b² = a²(e² - 1) से:

b² = 32((√2)² - 1) = 32(2 - 1) = 32

3. अतिपरवलय का मानक समीकरण:

x² / a² - y² / b² = 1

x² / 32 - y² / 32 = 1 या x² - y² = 32

.

3D दूरी सूत्र d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²] से:

d = √[(-3 - 2)² + (0 - 0)² + (0 - 0)²]

d = √[(-5)² + 0 + 0] = √25 = 5 इकाई

.

सूत्र cos θ ≈ 1 - θ²/2 (जब θ → 0) का प्रयोग करने पर:

अंश: (1 - a²x²/2) - (1 - b²x²/2) = (b² - a²)x² / 2

हर: (1 - c²x²/2) - 1 = -c²x² / 2

lim (x → 0) [ (b² - a²)x² / 2 ] / [ -c²x² / 2 ]

x² निरस्त करने पर:

= -(b² - a²) / c² = (a² - b²) / c²

.

प्रथम सिद्धांत सूत्र: f'(x) = lim (h → 0) [f(x + h) - f(x)] / h

f'(x) = lim (h → 0) [sin(x + h) - sin x] / h

सूत्र sin C - sin D = 2 cos[(C + D)/2] sin[(C - D)/2] से:

f'(x) = lim (h → 0) [ 2 cos(x + h/2) sin(h/2) ] / h

f'(x) = lim (h → 0) cos(x + h/2) · [ sin(h/2) / (h/2) ]

सीमा h → 0 लागू करने पर:

f'(x) = cos(x + 0) · 1 = cos x

अतः d/dx (sin x) = cos x

.

मध्यमान (xᵢ): 5, 15, 25, 35, 45, 55

बारंबारता (fᵢ): 11, 29, 18, 4, 5, 3 ➔ N = ∑ fᵢ = 70

1. कल्पित माध्य A = 25, वर्ग अंतराल h = 10 मानकर dᵢ = (xᵢ - 25)/10:

dᵢ: -2, -1, 0, 1, 2, 3

2. fᵢ dᵢ: -22, -29, 0, 4, 10, 9 ➔ ∑ fᵢ dᵢ = -28

3. fᵢ dᵢ²: 44, 29, 0, 4, 20, 27 ➔ ∑ fᵢ dᵢ² = 124

मानक विचलन (σ) सूत्र:

σ = h × √[ (∑ fᵢ dᵢ² / N) - (∑ fᵢ dᵢ / N)² ]

σ = 10 × √[ (124 / 70) - (-28 / 70)² ]

σ = 10 × √[ 1.7714 - 0.16 ] = 10 × √1.6114 ≈ 10 × 1.269 = 12.69

.

S = HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT ➔ n(S) = 8

(1) घटना A: अधिकतम 2 चित (0, 1 या 2 Heads):

A = HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT ➔ n(A) = 7

P(A) = 7/8

(2) घटना B: कोई भी पट् न प्रकट होना (केवल 3 Heads):

B = HHH ➔ n(B) = 1

P(B) = 1/8

.

(1) P(E ∪ F) = P(E) + P(F) - P(E ∩ F)

P(E ∪ F) = 1/4 + 1/2 - 1/8 = (2 + 4 - 1) / 8 = 5/8

(2) डी-मॉर्गन नियम से P(E' ∩ F') = P((E ∪ F)') = 1 - P(E ∪ F):

P(E' ∩ F') = 1 - 5/8 = 3/8

.

36 से भाग देने पर मानक रूप:

x² / 4 + y² / 9 = 1

यहाँ a² = 4 (a = 2) तथा b² = 9 (b = 3)। चूँकि a < b, Y-अक्ष दीर्घ अक्ष है।

1. दीर्घ अक्ष की लंबाई = 2b = 2(3) = 6

2. लघु अक्ष की लंबाई = 2a = 2(2) = 4

3. नाभिलम्ब जीवा की लंबाई = 2a² / b = 2(4) / 3 = 8/3

.

y = sin² x = (sin x)²

शृंखला नियम (Chain Rule) द्वारा:

dy/dx = 2(sin x)¹ · d/dx (sin x)

dy/dx = 2 sin x cos x = sin 2x

.

1. मूल बिंदु से पहली रेखा x cos θ - y sin θ - K cos 2θ = 0 पर लम्ब p:

p = -K cos 2θ / √(cos² θ + sin² θ) = K cos 2θ

p² = K² cos² 2θ

2. दूसरी रेखा: x/cos θ + y/sin θ = K ➔ x sin θ + y cos θ - K sin θ cos θ = 0

मूल बिंदु से लम्ब q:

q = -K sin θ cos θ / √(sin² θ + cos² θ) = K sin θ cos θ = (K/2) sin 2θ

q² = (K²/4) sin² 2θ ➔ 4q² = K² sin² 2θ

3. p² + 4q² का मान जोड़ने पर:

p² + 4q² = K² cos² 2θ + K² sin² 2θ

p² + 4q² = K² (cos² 2θ + sin² 2θ) = K² (1) = K²

(इति सिद्धम्)

.

eˣ का प्रसार eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ... प्रयोग करने पर:

lim (x → 0) [ (1 + x + x²/2! + ...) - 1 ] / x

= lim (x → 0) [ x(1 + x/2! + ...) ] / x

= lim (x → 0) (1 + x/2! + ...)

सीमा x = 0 लागू करने पर:

= 1 + 0 = 1