Solution

. (c) 0 ∈ P(A)

[स्पष्टीकरण: A = 0, ∅ का घात समुच्चय P(A) = ∅, 0, ∅, 0, ∅ होता है। अतः 0 ∈ P(A) सही कथन है।]

. (a) 1

[स्पष्टीकरण: किसी भी कोण θ के लिए मानक सर्वसमिका से sin² θ + cos² θ = 1 होता है।]

. (c) 24

[स्पष्टीकरण: 4 विभिन्न अंकों से 4 अंकों की संख्याएँ बनाने के कुल तरीके = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24]

. (a) 8

[स्पष्टीकरण: किसी बिंदु (x, y, z) की xy-तल से लाम्बिक दूरी उसके z-निर्देशांक का परिमाण z होता है। अतः दूरी = 8 = 8]

. (a) -1

[स्पष्टीकरण: रेखा का समीकरण x/a + y/a = 1 ➔ x + y = a ➔ y = -x + a. अतः प्रवणता m = -1 (या जब दिशा ध्यान में न रखकर अन्तःखण्ड की लंबाइयाँ बराबर हों तो m = ±1, दिए गए विकल्पों में -1 उपलब्ध है)।]

2. सभी खण्ड हल कीजिए

.

समुच्चय निर्माण रूप:

x ∈ ℝ : -23 < x < 5

.

रेडियन से अंश में बदलने के लिए (180°/π) से गुणा करने पर:

(5π / 3) × (180° / π) = 5 × 60° = 300°

.

प्रत्येक प्रश्न का उत्तर देने के 2 विकल्प हैं (सत्य या असत्य)।

अतः 5 प्रश्नों का उत्तर देने के कुल प्रकार = 2⁵ = 32 प्रकार।

.

त्रिज्या r = केन्द्र (a, b) की मूल बिन्दु (0, 0) से दूरी:

r = √[(a - 0)² + (b - 0)²] = √(a² + b²)

वृत्त का मानक समीकरण (x - h)² + (y - k)² = r² से:

(x - a)² + (y - b)² = a² + b²

x² - 2ax + a² + y² - 2by + b² = a² + b²

x² + y² - 2ax - 2by = 0

.

प्रश्नानुसार कोटि y = 3x

y = 3x का मान परवलय y² = 12x में रखने पर:

(3x)² = 12x

9x² - 12x = 0

3x(3x - 4) = 0

यदि x = 0 (मूल बिंदु): y = 0

यदि x = 4/3: y = 3(4/3) = 4

अतः वांछित बिन्दु (4/3, 4) तथा (0, 0) हैं।

3. सभी खण्ड हल कीजिए

.

अंश और हर के गुणनखंड करने पर:

अंश: 3x² - x - 10 = 3x² - 6x + 5x - 10 = (x - 2)(3x + 5)

हर: x² - 4 = (x - 2)(x + 2)

lim (x → 2) [ (x - 2)(3x + 5) ] / [ (x - 2)(x + 2) ]

(x - 2) निरस्त करने पर:

= lim (x → 2) (3x + 5) / (x + 2)

सीमा x = 2 रखने पर:

= (3(2) + 5) / (2 + 2) = (6 + 5) / 4 = 11/4

.

बिन्दुओं द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल Δ:

Δ = (1/2) a(c + a - a - b) + b(a + b - b - c) + c(b + c - c - a)

Δ = (1/2) a(c - b) + b(a - c) + c(b - a)

Δ = (1/2) ac - ab + ab - bc + bc - ac

Δ = (1/2) 0 = 0

चूँकि निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य है, अतः बिन्दु संरेख हैं।

(इति सिद्धम्)

.

Sₙ = 7 + 77 + 777 + ... n पदों तक

Sₙ = 7(1 + 11 + 111 + ... n पदों तक)

अंश और हर में 9 से गुणा व भाग करने पर:

Sₙ = (7/9)(9 + 99 + 999 + ... n पदों तक)

Sₙ = (7/9)[ (10 - 1) + (10² - 1) + (10³ - 1) + ... n पदों तक ]

Sₙ = (7/9)[ (10 + 10² + 10³ + ... n पदों तक) - (1 + 1 + ... n पदों तक) ]

गुणोत्तर श्रेणी के सूत्र S = a(rⁿ - 1)/(r - 1) का प्रयोग करने पर (a = 10, r = 10):

Sₙ = (7/9) [ 10(10ⁿ - 1) / (10 - 1) - n ]

Sₙ = (7/9) [ 10(10ⁿ - 1) / 9 - n ]

Sₙ = (70/81)(10ⁿ - 1) - (7n/9)

.

1. (1 - i)² = 1 + i² - 2i = 1 - 1 - 2i = -2i

2. (1 + i)² = 1 + i² + 2i = 1 - 1 + 2i = 2i

बायाँ पक्ष (L.H.S.):

L.H.S. = 1/(-2i) - 1/(2i)

= -1/(2i) - 1/(2i)

= -2 / (2i)

= -1 / i

अंश और हर में i से गुणा करने पर:

= -i / i² = -i / (-1) = i = दायाँ पक्ष (R.H.S.)

(इति सिद्धम्)

4. सभी खण्ड हल कीजिए

.

बायाँ पक्ष (L.H.S.):

L.H.S. = √(2 + √(2 + 2 cos 4θ))

सूत्र 1 + cos 2x = 2 cos² x का प्रयोग करने पर (x = 2θ ➔ 2 + 2 cos 4θ = 2(1 + cos 4θ) = 4 cos² 2θ):

= √(2 + √(4 cos² 2θ))

= √(2 + 2 cos 2θ)

पुनः सूत्र 2 + 2 cos 2θ = 2(1 + cos 2θ) = 4 cos² θ लागू करने पर:

= √(4 cos² θ)

= 2 cos θ = दायाँ पक्ष (R.H.S.)

(इति सिद्धम्)

.

1. प्रान्त (Domain):

हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक x के लिए -1 ≤ sin 3x ≤ 1।

अतः 2 - sin 3x कभी भी 0 नहीं हो सकता (न्यूनतम मान 2 - 1 = 1)।

अतः फलन सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।

प्रान्त = ℝ (सभी वास्तविक संख्याएँ)

2. परिसर (Range):

-1 ≤ sin 3x ≤ 1

दोनों ओर -1 से गुणा करने पर: -1 ≤ -sin 3x ≤ 1

2 जोड़ने पर: 1 ≤ 2 - sin 3x ≤ 3

व्युत्क्रम (Reciprocal) लेने पर: 1/3 ≤ 1 / (2 - sin 3x) ≤ 1

अतः परिसर = [1/3, 1]

.

मापांक असमिका A ≤ k ➔ -k ≤ A ≤ k लागू करने पर:

-1/2 ≤ 3x - 2 ≤ 1/2

सभी पदों में 2 जोड़ने पर:

-1/2 + 2 ≤ 3x ≤ 1/2 + 2

3/2 ≤ 3x ≤ 5/2

3 से भाग देने पर:

1/2 ≤ x ≤ 5/6

अतः हल अंतराल: x ∈ [1/2, 5/6]

.

lim (x → 0) (tan ax) / π

x → 0 रखने पर tan(0) = 0:

= tan(a × 0) / π

= tan(0) / π

= 0 / π = 0

5. कोई पाँच खण्ड हल कीजिए

.

दिया है: y = (ax - b) / (bx - a)

तिर्यक गुणा करने पर:

y(bx - a) = ax - b

bxy - ay = ax - b

bxy - ax = ay - b

x(by - a) = ay - b

x = (ay - b) / (by - a)

फलन के रूप से:

f(y) = (ay - b) / (by - a)

अतः x = f(y)

(इति सिद्धम्)

.

व्यापक पद Tᵣ₊₁ = ¹²Cᵣ (x)¹²⁻ʳ (-1/x)ʳ

Tᵣ₊₁ = ¹²Cᵣ (-1)ʳ x¹²⁻ʳ · x⁻ʳ

Tᵣ₊₁ = ¹²Cᵣ (-1)ʳ x¹²⁻²ʳ

x से स्वतंत्र पद के लिए x की घात शून्य होनी चाहिए:

12 - 2r = 0 ➔ 2r = 12 ➔ r = 6

अतः स्वतंत्र पद T₇:

T₇ = ¹²C₆ (-1)⁶

T₇ = ¹²C₆ = 12! / (6! × 6!)

T₇ = (12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7) / (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 924

.

बायाँ पक्ष (L.H.S.):

= sin 3x sin x + sin² x + cos 3x cos x - cos² x

= (cos 3x cos x + sin 3x sin x) - (cos² x - sin² x)

सूत्र cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B तथा cos 2x = cos² x - sin² x का प्रयोग करने पर:

= cos(3x - x) - cos 2x

= cos 2x - cos 2x

= 0 = दायाँ पक्ष (R.H.S.)

(इति सिद्धम्)

.

मान लीजिए Z = x + iy

तो इसका संयुग्मी Z̄ = x - iy

Z · Z̄ = (x + iy)(x - iy)

= x² - (iy)²

= x² - i²y²

चूँकि i² = -1:

Z · Z̄ = x² + y² ---- (समीकरण 1)

मापांक Z = √(x² + y²) ➔ Z ² = x² + y² ---- (समीकरण 2)

समीकरण (1) तथा (2) से:

Z · Z̄ = Z ²

(इति सिद्धम्)

.

असमिका: x/3 > x/2 + 1

x के पदों को एक तरफ लाने पर:

x/3 - x/2 > 1

ल०स० (LCM = 6) लेने पर:

(2x - 3x) / 6 > 1

-x / 6 > 1

दोनों पक्षों में -6 से गुणा करने पर (असमिका का चिन्ह बदल जाएगा):

x < -6

अतः हल अंतराल: x ∈ (-∞, -6)

.

कुल उछाल n = 6

4 शीर्ष (H) तथा 2 पुच्छ (T) चुनने के तरीकों की संख्या:

= ⁶C₄ (या ⁶C₂)

= 6! / (4! × 2!)

= (6 × 5) / 2 = 15 विधियाँ।

6. कोई पाँच खण्ड हल कीजिए

.

व्यापक पद Tᵣ₊₁ = ⁵Cᵣ (x²)⁵⁻ʳ (2/x)ʳ

Tᵣ₊₁ = ⁵Cᵣ · 2ʳ · x¹⁰⁻²ʳ · x⁻ʳ

Tᵣ₊₁ = ⁵Cᵣ · 2ʳ · x¹⁰⁻³ʳ

x⁴ का गुणांक ज्ञात करने के लिए घातों की तुलना करने पर:

10 - 3r = 4

3r = 6 ➔ r = 2

पद = T₃ = ⁵C₂ · 2² · x⁴ = 10 × 4 × x⁴ = 40x⁴

अतः x⁴ का गुणांक = 40

.

प्रथम पद (a) = 2/3

सार्वअनुपात (r) = (4/9) / (2/3) = 2/3

अनन्त G.P. का योगफल सूत्र S∞ = a / (1 - r) से (चूँकि r < 1):

S∞ = (2/3) / (1 - 2/3)

S∞ = (2/3) / (1/3) = 2

.

दो बिन्दुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण:

y - y₁ = [(y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)] (x - x₁)

यहाँ (x₁, y₁) = (a, b) तथा (x₂, y₂) = (c, d) रखने पर:

y - b = [(d - b) / (c - a)] (x - a)

या तिर्यक रूप में:

(c - a)(y - b) = (d - b)(x - a)

.

चूँकि शीर्ष (0, 0) है तथा नाभि (0, 2) Y-अक्ष के धनात्मक दिशा पर स्थित है, यह एक ऊर्ध्वाधर परवलय है।

मानक समीकरण: x² = 4ay

नाभि (0, a) = (0, 2) से a = 2।

समीकरण: x² = 4(2)y ➔ x² = 8y

.

अंश को व्यवस्थित करने पर:

lim (x → 0) [ (eˣ - 1) - (e⁻ˣ - 1) ] / x

= lim (x → 0) [ (eˣ - 1)/x - (e⁻ˣ - 1)/x ]

= lim (x → 0) (eˣ - 1)/x + lim (x → 0) (e⁻ˣ - 1)/(-x)

मानक सीमा lim (t → 0) (eᵗ - 1)/t = 1 लागू करने पर:

= 1 + 1 = 2

.

समीकरण: tan θ + tan 2θ = 1 - tan θ tan 2θ

tan θ + tan 2θ / (1 - tan θ tan 2θ) = 1

सूत्र tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B) से:

tan(θ + 2θ) = 1

tan 3θ = 1 = tan(π/4)

व्यापक हल सूत्र tan α = tan β ➔ α = nπ + β से:

3θ = nπ + π/4

θ = nπ/3 + π/12, जहाँ n ∈ ℤ

7. कोई एक खण्ड हल कीजिए

.

मान लीजिए f(x) = eᵃˣ

प्रथम सिद्धान्त का सूत्र: f'(x) = lim (h → 0) [f(x + h) - f(x)] / h

f'(x) = lim (h → 0) [ eᵃ⁽ˣ⁺ʰ⁾ - eᵃˣ ] / h

f'(x) = lim (h → 0) [ eᵃˣ · eᵃʰ - eᵃˣ ] / h

f'(x) = eᵃˣ · lim (h → 0) [ (eᵃʰ - 1) / h ]

अंश और हर में a से गुणा करने पर:

f'(x) = a eᵃˣ · lim (h → 0) [ (eᵃʰ - 1) / (ah) ]

मानक सीमा lim (t → 0) (eᵗ - 1)/t = 1 लागू करने पर (यहाँ t = ah):

f'(x) = a eᵃˣ (1) = a eᵃˣ

अतः d/dx (eᵃˣ) = a eᵃˣ

.

बायाँ पक्ष (L.H.S.):

L.H.S. = (cos 9° + sin 9°) / (cos 9° - sin 9°)

अंश तथा हर दोनों को cos 9° से भाग देने पर:

= [ (cos 9°/cos 9°) + (sin 9°/cos 9°) ] / [ (cos 9°/cos 9°) - (sin 9°/cos 9°) ]

= (1 + tan 9°) / (1 - tan 9°)

चूँकि 1 = tan 45°:

= (tan 45° + tan 9°) / (1 - tan 45° tan 9°)

सूत्र tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B) से:

= tan(45° + 9°)

= tan 54° = दायाँ पक्ष (R.H.S.)

(इति सिद्धम्)

8. कोई एक खण्ड हल कीजिए

.

त्रिभुज नियम (Sine Rule) से: a/sin A = b/sin B = c/sin C = k

⇒ sin A = a/k, sin C = c/k

प्रश्नानुसार:

(a/k) / (c/k) = sin(A - B) / sin(B - C)

a / c = sin(A - B) / sin(B - C)

चूँकि A + B + C = π ➔ A = π - (B + C) तथा C = π - (A + B):

sin(A - B) = sin(A - B)

त्रिभुज के कोणों को बदलने पर:

a / c = sin(A - B) / sin(B - C)

तिर्यक गुणा करने पर:

a sin(B - C) = c sin(A - B)

a (sin B cos C - cos B sin C) = c (sin A cos B - cos A sin B)

ज्या तथा कोज्या नियम (Cosine Rules) लागू करने पर:

a [ (b/k)(a² + b² - c²)/2ab - (c/k)(a² + c² - b²)/2ac ] = c [ (a/k)(a² + c² - b²)/2ac - (b/k)(b² + c² - a²)/2bc ]

सरल करने पर प्राप्त होता है:

b² - c² = a² - b²

2b² = a² + c²

अतः a², b², c² समान्तर श्रेणी (A.P.) में हैं।

(इति सिद्धम्)

.

प्रतिकूल संयोगानुपात = a : b = 3 : 5

जहाँ a = घटना न घटने के अनुकूल प्रकार = 3

b = घटना घटने के अनुकूल प्रकार = 5

घटना घटने की प्रायिकता P(E):

P(E) = b / (a + b)

P(E) = 5 / (3 + 5)

P(E) = 5 / 8

9. कोई एक खण्ड हल कीजिए

.

समीकरण: ²ⁿC₃ / ⁿC₂ = 12 / 1

संचय सूत्रों के प्रयोग से:

[ 2n(2n - 1)(2n - 2) / (3 × 2 × 1) ] / [ n(n - 1) / (2 × 1) ] = 12

[ 2n(2n - 1) · 2(n - 1) / 6 ] / [ n(n - 1) / 2 ] = 12

[ 2n(2n - 1)(n - 1) / 3 ] × [ 2 / n(n - 1) ] = 12

n(n - 1) निरस्त करने पर (n > 1):

4(2n - 1) / 3 = 12

4(2n - 1) = 36

2n - 1 = 9

2n = 10

⇒ n = 5

.

मान लीजिए y = x² / (1 + x²)

1. चूँकि x² ≥ 0 तथा 1 + x² > 0 है, अतः y ≥ 0।

2. x² < 1 + x² होने के कारण y = x² / (1 + x²) < 1।

असमिका रूप से हल करने पर:

y(1 + x²) = x²

y + y x² = x²

x²(1 - y) = y

x² = y / (1 - y)

चूँकि वास्तविक x के लिए x² ≥ 0 होना आवश्यक है:

y / (1 - y) ≥ 0

y / (y - 1) ≤ 0

संख्या रेखा परीक्षण से:

0 ≤ y < 1

अतः फलन का परिसर (Range) = [0, 1)