Solution

सही विकल्प: (अ) A

व्याख्या: अवशोषण नियम के अनुसार, A ⊆ (A ∪ B) होने के कारण A ∩ (A ∪ B) = A होता है।

(ख) यदि A = u, v, w, z & B = 3, 5 तो A से B में संबंधों की संख्या होगी–

(अ) 256

(ब) 1024

(स) 512

(द) 64

उत्तर:

सही विकल्प: (अ) 256

व्याख्या: n(A) = 4 तथा n(B) = 2, इसलिए n(A × B) = 4 × 2 = 8। A से B में कुल संबंधों की संख्या = 2⁸ = 256।

(ग) i⁻³⁹ का मान है –

(अ) −i

(ब) 1

(स) i

(द) −1

उत्तर:

सही विकल्प: (स) i

व्याख्या: i⁻³⁹ = i⁻⁴⁰⁺¹ = (i⁴)⁻¹⁰ × i¹ = (1)⁻¹⁰ × i = i।

(घ) 4 − 3i का गुणात्मक प्रतिलोम है –

(अ) (4 + 3i)/25

(ब) 4 + 3i

(स) 1/4 + 3i

(द) 1/3i − 4

उत्तर:

सही विकल्प: (अ) (4 + 3i)/25

व्याख्या: 4 − 3i का गुणात्मक प्रतिलोम = 1 / (4 − 3i) = (4 + 3i) / (4² + (-3)²) = (4 + 3i) / 25।

(ङ) एक रेखा बिन्दु (2, 2) से जाती है और रेखा 3x + y = 3 पर लम्ब है। रेखा का y अन्तः खण्ड है–

(अ) 1/3

(ब) 2/3

(स) 1

(द) 4/3

उत्तर:

सही विकल्प: (द) 4/3

व्याख्या: दी गई रेखा 3x + y = 3 की ढाल -3 है, इसलिए लम्ब रेखा की ढाल 1/3 होगी। (2, 2) से जाने वाली रेखा का समीकरण y - 2 = (1/3)(x - 2) अर्थात x - 3y + 4 = 0 है। y-अन्तः खण्ड के लिए x = 0 रखने पर y = 4/3 प्राप्त होता है।

दिया है:

(x/3 + 1, y - 2/3) = (5/3, 1/3)

ज्ञात सूत्र:

यदि दो क्रमित युग्म (a, b) = (c, d) हों, तो a = c तथा b = d होता है।

हल:

संगत घटकों की तुलना करने पर:

x-घटक की तुलना से:

x/3 + 1 = 5/3

x/3 = 5/3 - 1

x/3 = (5 - 3) / 3

x/3 = 2/3

x = 2

y-घटक की तुलना से:

y - 2/3 = 1/3

y = 1/3 + 2/3

y = (1 + 2) / 3

y = 3/3

y = 1

अतः उत्तर:

x = 2 तथा y = 1

दिया है:

समांतर श्रेणी: 25, 22, 19, 16 . . . . .

प्रथम पद (a) = 25

सार्व अंतर (d) = 22 - 25 = -3

पदों का योगफल (Sn) = 116

ज्ञात सूत्र:

1. Sn = (n / 2) × [2a + (n - 1)d]

2. l = a + (n - 1)d

हल:

मान रखने पर:

116 = (n / 2) × [2(25) + (n - 1)(-3)]

116 × 2 = n × [50 - 3n + 3]

232 = n × (53 - 3n)

232 = 53n - 3n²

3n² - 53n + 232 = 0

द्विघात समीकरण का मध्य पद विभक्त करने पर:

3n² - 24n - 29n + 232 = 0

3n(n - 8) - 29(n - 8) = 0

(n - 8)(3n - 29) = 0

यदि n - 8 = 0, तो n = 8

यदि 3n - 29 = 0, तो n = 29/3 (जो कि अमान्य है, क्योंकि पदों की संख्या n एक धन पूर्णांक होनी चाहिए)

अतः n = 8

अब अंतिम पद (l) ज्ञात करते हैं:

l = a + (8 - 1)d

l = 25 + 7 × (-3)

l = 25 - 21

l = 4

अतः उत्तर:

श्रेणी का अंतिम पद = 4

दिया है:

समांतर श्रेणी: -6, -11/2, -5 . . . . .

प्रथम पद (a) = -6

सार्व अंतर (d) = -11/2 - (-6) = -11/2 + 6 = 1/2

पदों का योगफल (Sn) = -25

ज्ञात सूत्र:

Sn = (n / 2) × [2a + (n - 1)d]

हल:

मान रखने पर:

-25 = (n / 2) × [2(-6) + (n - 1)(1/2)]

-25 = (n / 2) × [-12 + n/2 - 1/2]

-25 = (n / 2) × [-25/2 + n/2]

-25 = (n / 2) × [(n - 25) / 2]

-25 = n(n - 25) / 4

-100 = n² - 25n

n² - 25n + 100 = 0

द्विघात समीकरण का मध्य पद विभक्त करने पर:

n² - 20n - 5n + 100 = 0

n(n - 20) - 5(n - 20) = 0

(n - 20)(n - 5) = 0

n = 5 या n = 20

अतः उत्तर:

पदों की संख्या n = 5 या n = 20 है।

दिया है:

1/6! + 1/7! = x/8!

ज्ञात सूत्र:

n! = n × (n - 1)!

8! = 8 × 7 × 6!

7! = 7 × 6!

हल:

मान रखने पर:

1/6! + 1/(7 × 6!) = x / (8 × 7 × 6!)

बाएँ पक्ष से 1/6! उभयनिष्ठ लेने पर:

(1/6!) × (1 + 1/7) = x / (56 × 6!)

दोनों पक्षों से 1/6! निरस्त करने पर:

1 + 1/7 = x / 56

(7 + 1) / 7 = x / 56

8/7 = x / 56

त्रियक गुणा करने पर:

x = (8 × 56) / 7

x = 8 × 8

x = 64

अतः उत्तर:

x = 64

दिया है:

नाभियाँ = (0, ±13)

संयुग्मी अक्ष की लम्बाई = 24

ज्ञात सूत्र:

1. चूँकि नाभियाँ y-अक्ष पर स्थित हैं, अतः अतिपरवलय का मानक समीकरण:

(y² / a²) - (x² / b²) = 1

2. नाभियाँ = (0, ±c), अतः c = 13

3. संयुग्मी अक्ष की लम्बाई = 2b = 24

4. c² = a² + b²

हल:

संयुग्मी अक्ष की लम्बाई से:

2b = 24

b = 12

नाभियों से:

c = 13

सूत्र c² = a² + b² का प्रयोग करने पर:

13² = a² + 12²

169 = a² + 144

a² = 169 - 144

a² = 25

अतिपरवलय का अभीष्ट समीकरण:

(y² / 25) - (x² / 144) = 1

अतः उत्तर:

अतिपरवलय का समीकरण (y² / 25) - (x² / 144) = 1 है।

दिया है:

f(x) = (x - 1)/(x + 1)

ज्ञात सूत्र:

f(2x) = (2x - 1)/(2x + 1)

हल:

दायाँ पक्ष (RHS) = (3f(x) + 1)/(f(x) + 3)

f(x) का मान रखने पर:

RHS = [3(x - 1)/(x + 1) + 1] / [(x - 1)/(x + 1) + 3]

अंश को सरल करने पर:

3(x - 1)/(x + 1) + 1 = (3x - 3 + x + 1)/(x + 1) = (4x - 2)/(x + 1)

हर को सरल करने पर:

(x - 1)/(x + 1) + 3 = (x - 1 + 3x + 3)/(x + 1) = (4x + 2)/(x + 1)

अब अंश को हर से विभाजित करने पर:

RHS = [(4x - 2)/(x + 1)] / [(4x + 2)/(x + 1)]

RHS = (4x - 2)/(4x + 2)

2 उभयनिष्ठ लेकर काटने पर:

RHS = 2(2x - 1) / 2(2x + 1)

RHS = (2x - 1)/(2x + 1)

बायाँ पक्ष (LHS):

LHS = f(2x) = (2x - 1)/(2x + 1)

चूँकि LHS = RHS,

अतः उत्तर:

इति सिद्धम्।

दिया है:

e^(f(x)) = x

ज्ञात सूत्र:

log(a) + log(b) = log(a * b)

log(1) = 0

हल:

समीकरण e^(f(x)) = x के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (log) लेने पर:

f(x) = log(x)

अब f(1/x) का मान निकालने के लिए x के स्थान पर 1/x रखने पर:

f(1/x) = log(1/x)

अतः व्यंजक [f(x) + f(1/x)] का मान:

f(x) + f(1/x) = log(x) + log(1/x)

= log(x * 1/x)

= log(1)

= 0

अतः उत्तर:

[f(x) + f(1/x)] = 0

दिया है:

सम्मिश्र संख्या z = (1 + 2i)/(1 - 3i)

ज्ञात सूत्र:

यदि z = a + ib, तो:

मापांक z = √(a² + b²)

कोणांक θ = π - tan⁻¹( b/a ) (द्वितीय चतुर्थांश के लिए)

हल:

सर्वप्रथम सम्मिश्र संख्या को मानक रूप a + ib में परिवर्तित करते हैं।

हर का परिमेयकरण करने के लिए (1 + 3i) से अंश व हर में गुणा करने पर:

z = [(1 + 2i)(1 + 3i)] / [(1 - 3i)(1 + 3i)]

z = (1 + 3i + 2i + 6i²) / (1² - (3i)²)

चूँकि i² = -1:

z = (1 + 5i - 6) / (1 + 9)

z = (-5 + 5i) / 10

z = -5/10 + (5/10)i

z = -1/2 + (1/2)i

यहाँ वास्तविक भाग a = -1/2 तथा काल्पनिक भाग b = 1/2 है।

1. मापांक z :

z = √[(-1/2)² + (1/2)²]

z = √(1/4 + 1/4)

z = √(2/4) = √(1/2) = 1/√2

2. कोणांक θ:

चूँकि a < 0 (ऋणात्मक) और b > 0 (धनात्मक) है, अतः सम्मिश्र संख्या द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है।

tan α = b / a = (1/2) / (-1/2) = -1 = 1

α = π/4 (या 45°)

द्वितीय चतुर्थांश में कोणांक θ = π - α

θ = π - π/4 = 3π/4 (या 135°)

अतः उत्तर:

मापांक = 1/√2 तथा कोणांक = 3π/4 (या 135°)

दिया है असमिका:

(2x - 1)/3 ≥ (3x - 2)/4 - (2 - x)/5

ज्ञात सूत्र:

असमिका को सरल करने हेतु ल.स.प. (LCM) लेकर पक्षांतरण किया जाता है।

हल:

दाईं ओर का ल.स.प. 4 और 5 का 20 है।

(2x - 1)/3 ≥ [5(3x - 2) - 4(2 - x)] / 20

(2x - 1)/3 ≥ (15x - 10 - 8 + 4x) / 20

(2x - 1)/3 ≥ (19x - 18) / 20

दोनों पक्षों में 60 (3 और 20 का ल.स.प.) से गुणा करने पर:

20(2x - 1) ≥ 3(19x - 18)

40x - 20 ≥ 57x - 54

चर पदों को एक तरफ करने पर:

40x - 57x ≥ -54 + 20

-17x ≥ -34

दोनों पक्षों को -17 से भाग देने पर (असमिका का चिह्न बदल जाएगा):

x ≤ -34 / -17

x ≤ 2

अतः उत्तर:

x ≤ 2 अर्थात x ∈ (-∞, 2]

दिया है:

A = 1, 2

B = 1, 2, 3, 4

C = 5, 6

D = 5, 6, 7, 8

हल:

भाग 1. सत्यापित करना: A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)

बायाँ पक्ष (LHS):

B ∩ C = 1, 2, 3, 4 ∩ 5, 6 = ϕ (रिक्त समुच्चय)

LHS = A × (B ∩ C) = 1, 2 × ϕ = ϕ

दायाँ पक्ष (RHS):

A × B = (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)

A × C = (1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)

RHS = (A × B) ∩ (A × C) = ϕ

चूँकि LHS = RHS = ϕ, अतः भाग 1 सत्यापित हुआ।

भाग 2. सत्यापित करना: A × C, B × D का एक उपसमुच्चय है।

A × C = (1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)

B × D = (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)

यहाँ समुच्चय A × C का प्रत्येक अवयव समुच्चय B × D में उपस्थित है।

अर्थात A × C ⊆ B × D

अतः उत्तर:

दोनों कथन 1 और 2 सफलतापूर्वक सत्यापित हुए।

दिया है:

R = (x, x + 5) : x ∈ 0, 1, 2, 3, 4, 5

ज्ञात सूत्र:

संबंध R के क्रमित युग्मों के प्रथम घटकों का समुच्चय 'प्रांत' कहलाता है।

संबंध R के क्रमित युग्मों के द्वितीय घटकों का समुच्चय 'परिसर' कहलाता है।

हल:

x के मान रखने पर:

x = 0 के लिए, y = 0 + 5 = 5

x = 1 के लिए, y = 1 + 5 = 6

x = 2 के लिए, y = 2 + 5 = 7

x = 3 के लिए, y = 3 + 5 = 8

x = 4 के लिए, y = 4 + 5 = 9

x = 5 के लिए, y = 5 + 5 = 10

संबंध R तालिका रूप में:

R = (0, 5), (1, 6), (2, 7), (3, 8), (4, 9), (5, 10)

प्रांत (Domain) = क्रमित युग्मों के प्रथम घटक = 0, 1, 2, 3, 4, 5

परिसर (Range) = क्रमित युग्मों के द्वितीय घटक = 5, 6, 7, 8, 9, 10

अतः उत्तर:

प्रांत = 0, 1, 2, 3, 4, 5

परिसर = 5, 6, 7, 8, 9, 10

दिया है:

शब्द = MISSISSIPPI

कुल अक्षरों की संख्या = 11

ज्ञात सूत्र:

n अक्षरों के पुनरावृत्त क्रमचयों की संख्या = n! / (p1! p2! ... * pk!)

हल:

अक्षरों की आवृत्ति:

M = 1

I = 4

S = 4

P = 2

1. कुल क्रमचयों की संख्या:

N = 11! / (4! 4! 2!)

N = 39916800 / (24 24 2)

N = 39916800 / 1152 = 34650

2. उन क्रमचयों की संख्या जिनमें चारों 'I' एक साथ आते हैं:

चारों 'I' (IIII) को एक ही अक्षर/इकाई मान लेते हैं।

अब व्यवस्थित करने हेतु कुल इकाइयाँ = 1 (IIII इकाई) + 1 (M) + 4 (S) + 2 (P) = 8 इकाइयाँ।

चारों 'I' के एक साथ आने के क्रमचयों की संख्या:

N1 = 8! / (4! * 2!)

N1 = 40320 / (24 * 2)

N1 = 40320 / 48 = 840

3. उन क्रमचयों की संख्या जिनमें चारों 'I' एक साथ नहीं आते हैं:

वांछित संख्या = कुल क्रमचय - चारों 'I' एक साथ आने वाले क्रमचय

= 34650 - 840

= 33810

अतः उत्तर:

चारों I एक साथ न आने वाले क्रमचयों की संख्या = 33810

दिया है:

(aⁿ + bⁿ) / (a^(n-1) + b^(n-1)) = a तथा b का समांतर माध्य

ज्ञात सूत्र:

दो संख्याओं a तथा b का समांतर माध्य = (a + b) / 2

हल:

दी गई शर्त के अनुसार:

(aⁿ + bⁿ) / (a^(n-1) + b^(n-1)) = (a + b) / 2

तिर्यक गुणा (Cross multiplication) करने पर:

2(aⁿ + bⁿ) = (a + b)(a^(n-1) + b^(n-1))

2aⁿ + 2bⁿ = a a^(n-1) + a b^(n-1) + b a^(n-1) + b b^(n-1)

2aⁿ + 2bⁿ = aⁿ + a b^(n-1) + b a^(n-1) + bⁿ

aⁿ और bⁿ के पदों को बाईं ओर लाने पर:

(2aⁿ - aⁿ) + (2bⁿ - bⁿ) = a b^(n-1) + b a^(n-1)

aⁿ + bⁿ = a b^(n-1) + b a^(n-1)

समान आधार वाले पदों का पक्षांतरण करने पर:

aⁿ - b a^(n-1) = a b^(n-1) - bⁿ

a^(n-1)(a - b) = b^(n-1)(a - b)

दोनों पक्षों को (a - b) से भाग देने पर (चूँकि a ≠ b):

a^(n-1) = b^(n-1)

a^(n-1) / b^(n-1) = 1

(a / b)^(n-1) = (a / b)⁰

घातांकों की तुलना करने पर:

n - 1 = 0

n = 1

अतः उत्तर:

n = 1

सिद्ध करना है: (A - B) ∪ (B - A) = (A ∪ B) - (A ∩ B)

हल:

माना x कोई अवयव है जो (A - B) ∪ (B - A) में स्थित है।

x ∈ (A - B) ∪ (B - A)

=> x ∈ (A - B) या x ∈ (B - A)

=> (x ∈ A और x ∉ B) या (x ∈ B और x ∉ A)

=> (x ∈ A या x ∈ B) और x ∉ (A ∩ B)

=> x ∈ (A ∪ B) और x ∉ (A ∩ B)

=> x ∈ (A ∪ B) - (A ∩ B)

अतः (A - B) ∪ (B - A) ⊆ (A ∪ B) - (A ∩ B) ... (समीकरण 1)

पुनः, माना y कोई अवयव है जो (A ∪ B) - (A ∩ B) में स्थित है।

y ∈ (A ∪ B) - (A ∩ B)

=> y ∈ (A ∪ B) और y ∉ (A ∩ B)

=> (y ∈ A या y ∈ B) और y ∉ (A ∩ B)

=> (y ∈ A और y ∉ B) या (y ∈ B और y ∉ A)

=> y ∈ (A - B) या y ∈ (B - A)

=> y ∈ (A - B) ∪ (B - A)

अतः (A ∪ B) - (A ∩ B) ⊆ (A - B) ∪ (B - A) ... (समीकरण 2)

समीकरण 1 तथा समीकरण 2 से:

(A - B) ∪ (B - A) = (A ∪ B) - (A ∩ B)

इति सिद्धम्।

अतः उत्तर: (A - B) ∪ (B - A) = (A ∪ B) - (A ∩ B) सिद्ध हुआ।

यह प्रश्न स्पष्ट रूप से पढ़ा नहीं जा सका।

दिया है:

कुल लोगों की संख्या = 60

H समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या n(H) = 25

T समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या n(T) = 26

I समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या n(I) = 26

H तथा I दोनों पढ़ने वालों की संख्या n(H ∩ I) = 9

H तथा T दोनों पढ़ने वालों की संख्या n(H ∩ T) = 11

T तथा I दोनों पढ़ने वालों की संख्या n(T ∩ I) = 8

तीनों समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या n(H ∩ T ∩ I) = 3

ज्ञात सूत्र:

n(H ∪ T ∪ I) = n(H) + n(T) + n(I) - n(H ∩ T) - n(T ∩ I) - n(H ∩ I) + n(H ∩ T ∩ I)

हल:

1. कम से कम एक समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या:

n(H ∪ T ∪ I) = 25 + 26 + 26 - 11 - 8 - 9 + 3

n(H ∪ T ∪ I) = 77 - 28

n(H ∪ T ∪ I) = 49 + 3 = 52

2. ठीक-ठीक केवल एक समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या:

केवल H पढ़ने वाले = n(H) - n(H ∩ T) - n(H ∩ I) + n(H ∩ T ∩ I)

= 25 - 11 - 9 + 3 = 8

केवल T पढ़ने वाले = n(T) - n(H ∩ T) - n(T ∩ I) + n(H ∩ T ∩ I)

= 26 - 11 - 8 + 3 = 10

केवल I पढ़ने वाले = n(I) - n(H ∩ I) - n(T ∩ I) + n(H ∩ T ∩ I)

= 26 - 9 - 8 + 3 = 12

ठीक-ठीक केवल एक समाचार पत्र पढ़ने वालों की कुल संख्या = 8 + 10 + 12 = 30

अतः उत्तर:

1. कम से कम एक समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या = 52

2. ठीक-ठीक केवल एक समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या = 30

दिया है:

a, b, c समांतर श्रेणी (A.P.) में हैं।

a, b, d गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) में हैं।

ज्ञात सूत्र:

यदि तीन राशियाँ x, y, z समांतर श्रेणी में हों, तो 2y = x + z

यदि तीन राशियाँ x, y, z गुणोत्तर श्रेणी में हों, तो y² = x z

हल:

चूँकि a, b, c समांतर श्रेणी में हैं:

2b = a + c

=> c = 2b - a ... (समीकरण 1)

चूँकि a, b, d गुणोत्तर श्रेणी में हैं:

b² = a d

=> d = b² / a ... (समीकरण 2)

अब हमें सिद्ध करना है कि a, (a - b), (d - c) गुणोत्तर श्रेणी में हैं।

इसके लिए हमें यह दिखाना होगा कि:

(a - b)² = a × (d - c)

दायाँ पक्ष (R.H.S.) = a × (d - c)

समीकरण 1 तथा 2 से c और d का मान रखने पर:

R.H.S. = a × [ (b² / a) - (2b - a) ]

= a × [ (b² - 2ab + a²) / a ]

= b² - 2ab + a²

= (a - b)²

= बायाँ पक्ष (L.H.S.)

चूँकि (a - b)² = a × (d - c), अतः a, (a - b), (d - c) गुणोत्तर श्रेणी में हैं।

अतः उत्तर: a, (a - b), (d - c) गुणोत्तर श्रेणी में हैं, सिद्ध हुआ।

दिया है:

a, b, c गुणोत्तर श्रेणी में हैं, अतः b² = a c

समीकरण 1: ax² + 2bx + c = 0

समीकरण 2: dx² + 2ex + f = 0

ज्ञात सूत्र:

द्विघात समीकरण Ax² + Bx + C = 0 के मूल सूत्र: x = [ -B ± √(B² - 4AC) ] / (2A)

तीन पद p, q, r समांतर श्रेणी में होते हैं यदि 2q = p + r

हल:

प्रथम समीकरण ax² + 2bx + c = 0 का विविक्तकर (Discriminant):

D = (2b)² - 4(a)(c) = 4b² - 4ac

चूँकि b² = ac, अतः D = 4ac - 4ac = 0

क्योंकि D = 0, इसलिए प्रथम समीकरण के दोनों मूल समान होंगे:

x = -2b / (2a) = -b/a

चूँकि दोनों समीकरणों का एक मूल उभयनिष्ठ है, अतः x = -b/a द्वितीय समीकरण dx² + 2ex + f = 0 का भी मूल होगा।

x = -b/a समीकरण 2 में रखने पर:

d(-b/a)² + 2e(-b/a) + f = 0

d(b² / a²) - 2eb/a + f = 0

चूँकि b² = ac, b² का मान रखने पर:

d(ac / a²) - 2eb/a + f = 0

d(c/a) - 2eb/a + f = 0

सम्पूर्ण समीकरण में c से भाग देने पर:

d/a - (2e b) / (a c) + f/c = 0

चूँकि ac = b², अतः b / (a c) = b / b² = 1 / b:

d/a - 2(e/b) + f/c = 0

=> 2(e/b) = d/a + f/c

यह दर्शाता है कि d/a, e/b, f/c समांतर श्रेणी में हैं।

अतः उत्तर: d/a, e/b, f/c समांतर श्रेणी में हैं, सिद्ध हुआ।

दिया है:

वर्ग अंतराल और बारंबारता (f):

वर्ग 0-10: f = 6

वर्ग 10-20: f = 8

वर्ग 20-30: f = 14

वर्ग 30-40: f = 16

वर्ग 40-50: f = 4

वर्ग 50-60: f = 2

ज्ञात सूत्र:

माध्यिका M = L + [ (N/2 - C) / f ] × h

माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन = (1/N) × Σ f_i x_i - M

हल:

गणना तालिका:

वर्ग 0-10: f = 6, मध्यमान x = 5, संचयी बारंबारता cf = 6

वर्ग 10-20: f = 8, मध्यमान x = 15, संचयी बारंबारता cf = 14

वर्ग 20-30: f = 14, मध्यमान x = 25, संचयी बारंबारता cf = 28

वर्ग 30-40: f = 16, मध्यमान x = 35, संचयी बारंबारता cf = 44

वर्ग 40-50: f = 4, मध्यमान x = 45, संचयी बारंबारता cf = 48

वर्ग 50-60: f = 2, मध्यमान x = 55, संचयी बारंबारता cf = 50

कुल बारंबारता N = Σ f = 50

N/2 = 50 / 2 = 25

N/2 = 25 संचयी बारंबारता 28 के अंतर्गत आती है।

अतः माध्यिका वर्ग = 20-30

L = 20, C = 14, f = 14, h = 10

माध्यिका M = 20 + [ (25 - 14) / 14 ] × 10

M = 20 + (11 / 14) × 10

M = 20 + 7.86 = 27.86 (लगभग 28)

पूर्णांक मान M = 28 लेकर गणना करने पर:

वर्ग 0-10: x - M = 5 - 28 = 23, f x - M = 6 × 23 = 138

वर्ग 10-20: x - M = 15 - 28 = 13, f x - M = 8 × 13 = 104

वर्ग 20-30: x - M = 25 - 28 = 3, f x - M = 14 × 3 = 42

वर्ग 30-40: x - M = 35 - 28 = 7, f x - M = 16 × 7 = 112

वर्ग 40-50: x - M = 45 - 28 = 17, f x - M = 4 × 17 = 68

वर्ग 50-60: x - M = 55 - 28 = 27, f x - M = 2 × 27 = 54

Σ f x - M = 138 + 104 + 42 + 112 + 68 + 54 = 518

माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन = 518 / 50 = 10.36

(सटीक मान M = 27.86 लेने पर माध्य विचलन = 10.34)

अतः उत्तर: माध्यिका = 28 (सटीक 27.86), माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन = 10.36

दिया है:

वर्ग अंतराल तथा बारंबारता (f):

वर्ग 0-30: f = 2

वर्ग 30-60: f = 3

वर्ग 60-90: f = 5

वर्ग 90-120: f = 10

वर्ग 120-150: f = 3

वर्ग 150-180: f = 5

वर्ग 180-210: f = 2

ज्ञात सूत्र:

पद विचलन विधि से:

u_i = (x_i - A) / h

माध्य (x̄) = A + h × (Σ f_i u_i / N)

प्रसरण (σ²) = h² × [ (1/N) Σ f_i u_i² - ( (1/N) Σ f_i u_i )² ]

हल:

माना कल्पित माध्य A = 105, वर्ग अंतराल की चौड़ाई h = 30

गणना तालिका:

वर्ग 0-30: f = 2, x = 15, u = (15 - 105)/30 = -3, f u = -6, f u² = 18

वर्ग 30-60: f = 3, x = 45, u = (45 - 105)/30 = -2, f u = -6, f u² = 12

वर्ग 60-90: f = 5, x = 75, u = (75 - 105)/30 = -1, f u = -5, f u² = 5

वर्ग 90-120: f = 10, x = 105, u = (105 - 105)/30 = 0, f u = 0, f u² = 0

वर्ग 120-150: f = 3, x = 135, u = (135 - 105)/30 = 1, f u = 3, f u² = 3

वर्ग 150-180: f = 5, x = 165, u = (165 - 105)/30 = 2, f u = 10, f u² = 20

वर्ग 180-210: f = 2, x = 195, u = (195 - 105)/30 = 3, f u = 6, f u² = 18

योग:

N = Σ f = 2 + 3 + 5 + 10 + 3 + 5 + 2 = 30

Σ f u = -6 - 6 - 5 + 0 + 3 + 10 + 6 = 2

Σ f u² = 18 + 12 + 5 + 0 + 3 + 20 + 18 = 76

1. माध्य (x̄) की गणना:

x̄ = 105 + 30 × (2 / 30)

x̄ = 105 + 2 = 107

2. प्रसरण (σ²) की गणना:

σ² = (30)² × [ (76 / 30) - (2 / 30)² ]

σ² = 900 × [ (76 / 30) - (4 / 900) ]

σ² = 900 × (76 / 30) - 900 × (4 / 900)

σ² = 30 × 76 - 4

σ² = 2280 - 4 = 2276

अतः उत्तर:

माध्य = 107

प्रसरण = 2276