1. सही विकल्प चुनिए
Solution
UP Board Class 11th Math Annual Paper 2023 C Code2
कक्षा 11वीं · गणित · 2023 · बोर्ड परीक्षा
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प्रश्न 1(क).
(1 - tan² 15°) / (1 + tan² 15°) का मान है–
(i) 1
(ii) √3
(iii) √3 / 2
(iv) 2
उत्तर:
. (iii) √3 / 2
[स्पष्टीकरण: cos 2θ = (1 - tan² θ) / (1 + tan² θ)
θ = 15° रखने पर ➔ cos(30°) = √3 / 2]
प्रश्न 1(ख).
यदि ⁿC₁₂ = ⁿC₈ है तो n का मान है–
(i) 20
(ii) 12
(iii) 6
(iv) 30
उत्तर:
. (i) 20
[स्पष्टीकरण: यदि ⁿCₓ = ⁿCᵧ होता है, तो n = x + y
अतः n = 12 + 8 = 20]
प्रश्न 1(ग).
lim (x → 0) x / x का मान है–
(i) 1
(ii) -1
(iii) 0
(iv) अस्तित्व में नहीं है
उत्तर:
. (iv) अस्तित्व में नहीं है
[स्पष्टीकरण:
LHL (वाम पक्ष सीमा) = lim(h → 0) -h / (-h) = h / (-h) = -1
RHL (दक्षिण पक्ष सीमा) = lim(h → 0) h / h = h / h = 1
चूँकि LHL ≠ RHL, अतः सीमा का अस्तित्व नहीं है।]
प्रश्न 1(घ).
एक अतिपरवलय के नाभिलम्ब की लम्बाई 8 तथा संयुग्मी अक्ष नाभियों के बीच की दूरी का आधा है। इसकी उत्केन्द्रता है–
(i) 4 / 3
(ii) 4 / √3
(iii) 2 / √3
(iv) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
. (iii) 2 / √3
[स्पष्टीकरण:
1. नाभिलम्ब = 2b² / a = 8 ➔ b² = 4a
2. संयुग्मी अक्ष (2b) = 1/2 × (नाभियों के बीच की दूरी 2ae) = ae ➔ b = ae / 2
दोनों मानों को समीकरण b² = a²(e² - 1) में रखने पर:
(ae / 2)² = a²(e² - 1) ➔ e² / 4 = e² - 1 ➔ 3e² / 4 = 1 ➔ e² = 4 / 3
⇒ e = 2 / √3]
2. सभी खण्ड हल कीजिए
प्रश्न 2(क).
शब्द ALLAHABAD के अक्षरों का समुच्चय लिखिए तथा इसके उपसमुच्चयों की संख्या ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
• शब्द ALLAHABAD के अक्षरों का समुच्चय A = A, L, H, B, D
• समुच्चय में अवयवों की संख्या n = 5
• उपसमुच्चयों की संख्या = 2ⁿ = 2⁵ = 32
प्रश्न 2(ख).
75° को रेडियन में बदलिए।
उत्तर:
.
75° = 75 × (π / 180) रेडियन
75° = (5π / 12) रेडियन
प्रश्न 2(ग).
हल कीजिए: -5 ≤ (5 - 3x) / 2 ≤ 8
उत्तर:
.
पूरी असमिका को 2 से गुणा करने पर:
-10 ≤ 5 - 3x ≤ 16
प्रत्येक पद से 5 घटाने पर:
-15 ≤ -3x ≤ 11
-3 से भाग करने पर (असमिका के चिन्ह बदल जाएँगे):
-11/3 ≤ x ≤ 5
अतः हल अंतराल: x ∈ [-11/3, 5]
प्रश्न 2(घ).
रेखा x + √3 y + 10 = 0 पर लम्ब रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
दी गई रेखा: x + √3 y + 10 = 0
इसकी प्रवणता (m₁) = -(x का गुणांक) / (y का गुणांक) = -1 / √3
लम्ब रेखा की प्रवणता (m₂) = -1 / m₁
m₂ = -1 / (-1 / √3) = √3
प्रश्न 2(ङ).
Y-अक्ष पर उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जिसकी बिंदु P(3, -2, 5) से दूरी 5√2 है।
उत्तर:
.
मान लीजिए Y-अक्ष पर स्थित बिंदु Q(0, y, 0) है।
बिंदु P(3, -2, 5) और Q(0, y, 0) के बीच की दूरी = 5√2
दूरी सूत्र से:
√[(0 - 3)² + (y - (-2))² + (0 - 5)²] = 5√2
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
9 + (y + 2)² + 25 = 50
34 + (y + 2)² = 50
(y + 2)² = 16
y + 2 = ±4
• यदि y + 2 = 4 ➔ y = 2
• यदि y + 2 = -4 ➔ y = -6
अतः अभीष्ट बिंदु के निर्देशांक (0, 2, 0) या (0, -6, 0) हैं।
3. कोई चार खण्ड हल कीजिए
प्रश्न 3(क).
f(x) = (x + 1) / x का अवकलज ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
f(x) = (x + 1) / x = 1 + (1 / x)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
f'(x) = d/dx (1) + d/dx (x⁻¹)
f'(x) = 0 + (-1 · x⁻²) = -1 / x²
प्रश्न 3(ख).
उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नाभियाँ (±3, 0) तथा a = 4 है।
उत्तर:
.
नाभियाँ (±ae, 0) = (±3, 0) ➔ ae = 3
दिया है, दीर्घ अक्ष का अर्ध-अक्ष a = 4
संबंध b² = a²(1 - e²) = a² - (ae)² से:
b² = 4² - 3² = 16 - 9 = 7
दीर्घवृत्त का मानक समीकरण (मानक रूप x²/a² + y²/b² = 1):
x² / 16 + y² / 7 = 1 या 7x² + 16y² = 112
प्रश्न 3(ग).
मूल बिंदु से रेखा 5x + 12y - 13 = 0 पर डाले गए लम्ब की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
मूल बिंदु (0, 0) से रेखा Ax + By + C = 0 पर लम्ब की लम्बाई p = C / √(A² + B²) होती है।
यहाँ A = 5, B = 12, C = -13
p = -13 / √(5² + 12²)
p = 13 / √(25 + 144) = 13 / √169 = 13 / 13 = 1 इकाई
प्रश्न 3(घ).
गुणोत्तर श्रेणी 16, 8, 4, 2, ..., 1/16 का अन्त से पाँचवाँ पद ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
दी गई G.P.: 16, 8, 4, 2, ..., 1/16
प्रथम पद (a) = 16, सार्वअनुपात (r) = 8/16 = 1/2, अंतिम पद (l) = 1/16
अंत से n-वाँ पद = l · (1 / r)ⁿ⁻¹
अंत से 5वाँ पद = (1 / 16) · [1 / (1/2)]⁵⁻¹
= (1 / 16) · (2)⁴
= (1 / 16) · 16 = 1
प्रश्न 3(ङ).
यदि ⁿP₄ / ⁿ⁻¹P₄ = 5 / 3 (जहाँ n > 4) है तो n का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
ⁿP₄ = n(n - 1)(n - 2)(n - 3)
ⁿ⁻¹P₄ = (n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4)
प्रश्नानुसार:
[n(n - 1)(n - 2)(n - 3)] / [(n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4)] = 5 / 3
उभयनिष्ठ पदों को काटने पर:
n / (n - 4) = 5 / 3
3n = 5(n - 4)
3n = 5n - 20
2n = 20
⇒ n = 10
4. कोई चार खण्ड हल कीजिए
प्रश्न 4(क).
ताश के 52 पत्तों की एक गड्डी से 4 पत्ते निकाले जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाले गये पत्तों में 3 ईंट और 1 हुकुम का पत्ता है।
उत्तर:
.
• 52 पत्तों में से 4 पत्ते चुनने के कुल तरीके n(S) = ⁵²C₄
• गड्डी में 13 ईंट और 13 हुकुम के पत्ते होते हैं।
• 13 ईंटों में से 3 ईंट और 13 हुकुम में से 1 हुकुम चुनने के अनुकूल तरीके n(E) = ¹³C₃ × ¹³C₁
प्रायिकता P(E) = n(E) / n(S) = (¹³C₃ × ¹³C₁) / ⁵²C₄
गणना:
¹³C₃ = (13 × 12 × 11) / (3 × 2 × 1) = 286
¹³C₁ = 13
⁵²C₄ = (52 × 51 × 50 × 49) / (4 × 3 × 2 × 1) = 270725
P(E) = (286 × 13) / 270725 = 3718 / 270725 ≈ 0.0137
प्रश्न 4(ख).
(x - a)(x - b) का x के सापेक्ष अवकलज ज्ञात कीजिए, जहाँ a तथा b अचर हैं।
उत्तर:
.
मान लीजिए y = (x - a)(x - b) = x² - (a + b)x + ab
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
dy/dx = d/dx [x² - (a + b)x + ab]
dy/dx = 2x - (a + b)(1) + 0
dy/dx = 2x - a - b
प्रश्न 4(ग).
उस अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नाभि (1, 1), नियता 2x + y = 1 तथा उत्केन्द्रता √3 है।
उत्तर:
.
मान लीजिए अतिपरवलय पर कोई बिंदु P(x, y) है, नाभि S(1, 1) है।
दूरी SP = √[(x - 1)² + (y - 1)²]
बिंदु P से नियता 2x + y - 1 = 0 पर लम्ब की लम्बाई PM = 2x + y - 1 / √(2² + 1²) = 2x + y - 1 / √5
अतिपरवलय की परिभाषा से: SP = e · PM (जहाँ e = √3)
√[(x - 1)² + (y - 1)²] = √3 · [ 2x + y - 1 / √5]
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
(x - 1)² + (y - 1)² = (3 / 5) · (2x + y - 1)²
5[(x² - 2x + 1) + (y² - 2y + 1)] = 3(4x² + y² + 1 + 4xy - 4x - 2y)
5(x² + y² - 2x - 2y + 2) = 3(4x² + y² + 4xy - 4x - 2y + 1)
5x² + 5y² - 10x - 10y + 10 = 12x² + 3y² + 12xy - 12x - 6y + 3
पदों को एक तरफ करने पर:
7x² + 12xy - 2y² - 2x + 4y - 7 = 0
प्रश्न 4(घ).
यदि a, b, c गुणोत्तर श्रेणी में हैं तथा a^(1/x) = b^(1/y) = c^(1/z) है तो सिद्ध कीजिए x, y, z समान्तर श्रेणी में हैं।
उत्तर:
.
1. दिए गए संबंध से:
मान लीजिए a^(1/x) = b^(1/y) = c^(1/z) = k
⇒ a = kˣ, b = kʸ, c = kᶻ
2. चूँकि a, b, c गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) में हैं:
b² = ac
3. a, b, c का मान k के रूप में रखने पर:
(kʸ)² = (kˣ) · (kᶻ)
k²ʸ = k⁽ˣ⁺ᶻ⁾
4. दोनों पक्षों में घातों की तुलना करने पर:
2y = x + z
2y = x + z यह दर्शाता है कि x, y, z समान्तर श्रेणी (A.P.) में हैं।
(इति सिद्धम्)
प्रश्न 4(ङ).
सिद्ध कीजिए कि: cos(π/4 - x) · cos(π/4 - y) - sin(π/4 - x) · sin(π/4 - y) = sin(x + y)
उत्तर:
.
बायाँ पक्ष (L.H.S.):
L.H.S. = cos(π/4 - x) · cos(π/4 - y) - sin(π/4 - x) · sin(π/4 - y)
सूत्र cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B का प्रयोग करने पर:
यहाँ A = (π/4 - x) तथा B = (π/4 - y)
= cos[(π/4 - x) + (π/4 - y)]
= cos[π/2 - (x + y)]
चूँकि cos(π/2 - θ) = sin θ होता है:
= sin(x + y) = दायाँ पक्ष (R.H.S.)
(इति सिद्धम्)
5. कोई चार खण्ड हल कीजिए
प्रश्न 5(क).
यदि y = f(x) = (ax - b) / (bx - a) है तो सिद्ध कीजिए कि x = f(y)।
उत्तर:
.
दिया है: y = (ax - b) / (bx - a)
त्रिर्यक गुणा करने पर:
y(bx - a) = ax - b
bxy - ay = ax - b
x वाले पदों को एक तरफ करने पर:
bxy - ax = ay - b
x(by - a) = ay - b
x = (ay - b) / (by - a)
f(x) की परिभाषा से f(y) = (ay - b) / (by - a)
अतः x = f(y)
(इति सिद्धम्)
प्रश्न 5(ख).
सिद्ध कीजिए कि: (tan A + sec A - 1) / (tan A - sec A + 1) = cos A / (1 - sin A)
उत्तर:
.
बायाँ पक्ष (L.H.S.):
= (tan A + sec A - 1) / (tan A - sec A + 1)
सर्वसमिका 1 = sec² A - tan² A रखने पर:
= [(sec A + tan A) - (sec² A - tan² A)] / (tan A - sec A + 1)
= [(sec A + tan A) - (sec A - tan A)(sec A + tan A)] / (tan A - sec A + 1)
अंश में से (sec A + tan A) उभयनिष्ठ लेने पर:
= (sec A + tan A)[1 - (sec A - tan A)] / (tan A - sec A + 1)
= (sec A + tan A)[1 - sec A + tan A] / (tan A - sec A + 1)
= sec A + tan A
अब इसे sin A और cos A के पदों में व्यक्त करने पर:
= 1 / cos A + sin A / cos A
= (1 + sin A) / cos A
अंश और हर में (1 - sin A) से गुणा करने पर:
= [(1 + sin A)(1 - sin A)] / [cos A (1 - sin A)]
= (1 - sin² A) / [cos A (1 - sin A)]
= cos² A / [cos A (1 - sin A)]
= cos A / (1 - sin A) = दायाँ पक्ष (R.H.S.)
(इति सिद्धम्)
प्रश्न 5(ग).
सम्मिश्र संख्या -1 - i√3 का मापांक और कोणांक ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
मान लीजिए z = -1 - i√3
यहाँ x = -1 (ऋणात्मक), y = -√3 (ऋणात्मक)।
1. मापांक (r or z ):
r = √(x² + y²) = √[(-1)² + (-√3)²] = √(1 + 3) = √4 = 2
2. कोणांक (Argument θ):
tan α = y / x = -√3 / -1 = √3
⇒ α = π / 3
चूँकि (x, y) तृतीय चतुर्थांश (Third Quadrant) में है:
मुख्य कोणांक (θ) = -(π - α)
θ = -(π - π/3) = -2π / 3
अतः मापांक = 2 तथा कोणांक = -2π / 3
प्रश्न 5(घ).
यदि संख्याएँ a, b, c, d, e समान्तर श्रेणी में हैं, तो a - 4b + 6c - 4d + e का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
मान लीजिए A.P. का प्रथम पद a और सार्वअंतर D है।
तब:
b = a + D
c = a + 2D
d = a + 3D
e = a + 4D
दिए गए व्यंजक में मान रखने पर:
E = a - 4(a + D) + 6(a + 2D) - 4(a + 3D) + (a + 4D)
E = a - 4a - 4D + 6a + 12D - 4a - 12D + a + 4D
a वाले पद एकत्र करने पर: (1 - 4 + 6 - 4 + 1)a = 0a = 0
D वाले पद एकत्र करने पर: (-4 + 12 - 12 + 4)D = 0D = 0
अतः a - 4b + 6c - 4d + e = 0
प्रश्न 5(ङ).
बिन्दुओं (1, -2, 3) तथा (3, 4, -5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 2 : 3 के अनुपात में बाह्य विभाजित करने वाले बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
मान लीजिए P(x₁, y₁, z₁) = (1, -2, 3) तथा Q(x₂, y₂, z₂) = (3, 4, -5)
अनुपात m : n = 2 : 3 (बाह्य विभाजन)
बाह्य विभाजन सूत्र से:
x = (m x₂ - n x₁) / (m - n)
y = (m y₂ - n y₁) / (m - n)
z = (m z₂ - n z₁) / (m - n)
मान रखने पर:
x = [2(3) - 3(1)] / (2 - 3) = (6 - 3) / (-1) = -3
y = [2(4) - 3(-2)] / (2 - 3) = (8 + 6) / (-1) = -14
z = [2(-5) - 3(3)] / (2 - 3) = (-10 - 9) / (-1) = 19
अतः अभीष्ट बिंदु के निर्देशांक (-3, -14, 19) हैं।
6. कोई एक खण्ड हल कीजिए
प्रश्न 6(क).
यदि फलन f(x), lim (x → 1) [f(x) - 2] / (x² - 1) = π को सन्तुष्ट करता है तो lim (x → 1) f(x) का मान प्राप्त कीजिए।
उत्तर:
.
दिया गया है:
lim (x → 1) [f(x) - 2] / (x² - 1) = π
हम जानते हैं कि:
lim (x → 1) [f(x) - 2] = lim (x → 1) [ (f(x) - 2) / (x² - 1) · (x² - 1) ]
सीमाओं के गुणनफल के नियम से:
lim (x → 1) [f(x) - 2] = [ lim (x → 1) (f(x) - 2) / (x² - 1) ] · [ lim (x → 1) (x² - 1) ]
lim (x → 1) [f(x) - 2] = π · (1² - 1) = π · 0 = 0
अतः:
lim (x → 1) f(x) - 2 = 0
⇒ lim (x → 1) f(x) = 2
अथवा
प्रश्न 6(ख).
दीर्घवृत्त 4x² + 9y² - 8x - 36y + 4 = 0 की उत्केन्द्रता ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
दीर्घवृत्त का समीकरण: 4x² + 9y² - 8x - 36y + 4 = 0
पूर्ण वर्ग बनाने पर:
4(x² - 2x) + 9(y² - 4y) = -4
4(x² - 2x + 1 - 1) + 9(y² - 4y + 4 - 4) = -4
4(x - 1)² - 4 + 9(y - 2)² - 36 = -4
4(x - 1)² + 9(y - 2)² = 36
36 से भाग देने पर:
(x - 1)² / 9 + (y - 2)² / 4 = 1
तुलना मानक समीकरण (x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1 से करने पर:
a² = 9 ➔ a = 3
b² = 4 ➔ b = 2
चूँकि a > b, उत्केन्द्रता e का सूत्र:
e = √(1 - b² / a²)
e = √(1 - 4 / 9) = √(5 / 9) = √5 / 3
अतः दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता e = √5 / 3 है।
7. कोई एक खण्ड हल कीजिए
प्रश्न 7(क).
सिद्ध कीजिए कि: sin 20° · sin 40° · sin 60° · sin 80° = 3 / 16
उत्तर:
.
बायाँ पक्ष (L.H.S.):
L.H.S. = sin 20° · sin 40° · sin 60° · sin 80°
हम जानते हैं कि sin 60° = √3 / 2:
= (√3 / 2) · [sin 20° · sin 40° · sin 80°]
सूत्र sin θ · sin(60° - θ) · sin(60° + θ) = (1/4) sin 3θ का प्रयोग करने पर:
θ = 20° रखने पर:
sin 20° · sin(60° - 20°) · sin(60° + 20°) = sin 20° · sin 40° · sin 80° = (1/4) sin(3 × 20°)
= (1/4) sin 60°
= (1/4) · (√3 / 2) = √3 / 8
यह मान L.H.S. में रखने पर:
L.H.S. = (√3 / 2) · (√3 / 8) = 3 / 16 = दायाँ पक्ष (R.H.S.)
(इति सिद्धम्)
अथवा
प्रश्न 7(ख).
संख्याओं 4 तथा 34 के बीच पाँच समान्तर माध्य-पद ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
मान लीजिए 4 और 34 के बीच 5 समान्तर माध्य A₁, A₂, A₃, A₄, A₅ हैं।
तब श्रेणी: 4, A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, 34 समान्तर श्रेणी (A.P.) में होगी।
यहाँ:
प्रथम पद (a) = 4
कुल पदों की संख्या (N) = 5 + 2 = 7
7वाँ पद (T₇) = 34
समान्तर श्रेणी का N-वाँ पद T_N = a + (N - 1)d:
34 = 4 + (7 - 1)d
30 = 6d
⇒ d = 5
अब पाँचों समान्तर माध्य पद:
1. A₁ = a + d = 4 + 5 = 9
2. A₂ = a + 2d = 4 + 10 = 14
3. A₃ = a + 3d = 4 + 15 = 19
4. A₄ = a + 4d = 4 + 20 = 24
5. A₅ = a + 5d = 4 + 25 = 29
अतः पाँचों समान्तर माध्य पद 9, 14, 19, 24 तथा 29 हैं।
8. कोई एक खण्ड हल कीजिए
प्रश्न 8(क).
निम्नलिखित बंटन का माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए:
xᵢ : 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45
fᵢ : 7, 3, 8, 5, 6, 8, 4, 9
उत्तर:
.
1. माध्यिका (Median M) की गणना:
xᵢ fᵢ संचयी बारंबारता (c.f.)
10 7 7
15 3 10
20 8 18
25 5 23
30 6 29
35 8 37
40 4 41
45 9 50
कुल बारंबारता N = Σfᵢ = 50 (सम संख्या)
N / 2 = 25
संचयी बारंबारता 25 से ठीक बड़ी c.f. 29 है, जिसका संगत पद xᵢ = 30 है।
अतः माध्यिका (M) = 30
2. माध्य विचलन (Mean Deviation about Median) की गणना:
xᵢ fᵢ dᵢ = xᵢ - 30 fᵢ dᵢ
10 7 20 140
15 3 15 45
20 8 10 80
25 5 5 25
30 6 0 0
35 8 5 40
40 4 10 40
45 9 15 135
योग N=50 Σfᵢ dᵢ = 505
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन M.D.(M) = Σfᵢ xᵢ - M / N
M.D.(M) = 505 / 50 = 10.1
अथवा
प्रश्न 8(ख).
किसी बिन्दु के लिए रेखा को दर्पण मानते हुए बिन्दु (3, 8) का रेखा x + 3y = 7 में प्रतिबिम्ब ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
.
मान लीजिए दिया गया बिंदु P(3, 8) है तथा इसका दर्पण रेखा L: x + 3y - 7 = 0 में प्रतिबिम्ब Q(h, k) है।
1. PQ का मध्य-बिंदु R दर्पण रेखा पर स्थित होगा:
R = ((h + 3)/2, (k + 8)/2)
R के मान रेखा x + 3y = 7 में रखने पर:
(h + 3)/2 + 3[(k + 8)/2] = 7
h + 3 + 3k + 24 = 14
h + 3k + 27 = 14
h + 3k = -13 ---- (समीकरण 1)
2. रेखा PQ दर्पण रेखा x + 3y = 7 के लम्बवत है:
दर्पण रेखा की प्रवणता m₁ = -1/3
रेखा PQ की प्रवणता m₂ = (k - 8) / (h - 3)
लम्बवत होने की शर्त m₁ × m₂ = -1 से:
(-1/3) × [(k - 8) / (h - 3)] = -1
(k - 8) / (3h - 9) = 1
k - 8 = 3h - 9
3h - k = 1 ---- (समीकरण 2)
3. समीकरण (1) और (2) को हल करने पर:
समीकरण (2) में 3 से गुणा करके समीकरण (1) में जोड़ने पर:
(h + 3k) + 3(3h - k) = -13 + 3(1)
h + 3k + 9h - 3k = -10
10h = -10
⇒ h = -1
h का मान समीकरण (2) में रखने पर:
3(-1) - k = 1
-3 - k = 1
⇒ k = -4
अतः बिंदु (3, 8) का दर्पण रेखा x + 3y = 7 में प्रतिबिम्ब (-1, -4) है।