Solution

. b. 1

[स्पष्टीकरण: मानक त्रिकोणमितीय सीमा सिद्धांत के अनुसार lim (θ → 0) (sin θ / θ) = 1]

. b. 4a

[स्पष्टीकरण: परवलय y² = 4ax के नाभिलम्ब (Latus Rectum) की कुल लंबाई 4a होती है।]

. c. -1

[स्पष्टीकरण: दो परस्पर लम्ब रेखाओं की प्रवणताएँ m₁ तथा m₂ हों तो m₁ × m₂ = -1]

. c. 99

[स्पष्टीकरण: f(x) = 99x ➔ f'(x) = d/dx(99x) = 99; x = 100 रखने पर भी मान 99 रहेगा।]

. a. 210

[स्पष्टीकरण: एक जीवा दो बिंदुओं को मिलाकर बनती है।

अतः जीवाओं की संख्या = ²¹C₂ = (21 × 20) / (2 × 1) = 210]

2. किन्हीं पाँच खण्डों को हल कीजिए

.

दिया गया वृत्त: x² + y² - 4x - 8y - 45 = 0

मानक समीकरण x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 से तुलना करने पर:

2g = -4 ➔ g = -2

2f = -8 ➔ f = -4

c = -45

• केन्द्र (-g, -f) = (2, 4)

• त्रिज्या r = √(g² + f² - c)

r = √[(-2)² + (-4)² - (-45)]

r = √(4 + 16 + 45) = √65 इकाई

.

अंश का परिमेयकरण करने पर:

lim (x → 0) [ √(1 + x) - √(1 - x) √(1 + x) + √(1 - x) ] / [ x √(1 + x) + √(1 - x) ]

= lim (x → 0) [ (1 + x) - (1 - x) ] / [ x √(1 + x) + √(1 - x) ]

= lim (x → 0) (2x) / [ x √(1 + x) + √(1 - x) ]

= lim (x → 0) 2 / [ √(1 + x) + √(1 - x) ]

सीमा x = 0 रखने पर:

= 2 / (√1 + √1) = 2 / 2 = 1

.

मान लीजिए रेखा के अन्तःखण्ड रूप का समीकरण x/a + y/b = 1 है।

प्रश्नानुसार, समान अन्तःखण्ड काटने पर a = b ➔ b = a या b = -a

स्थिति 1: यदि b = a

x/a + y/a = 1 ➔ x + y = a

चूँकि रेखा (2, 3) से गुजरती है:

2 + 3 = a ➔ a = 5

अतः रेखा का समीकरण: x + y = 5 (या x + y - 5 = 0)

स्थिति 2: यदि b = -a

x/a - y/a = 1 ➔ x - y = a

(2, 3) रखने पर: 2 - 3 = a ➔ a = -1

अतः रेखा का समीकरण: x - y = -1 (या x - y + 1 = 0)

.

दिया है: T₈ = 192, सार्वअनुपात (r) = 2

G.P. का n-वाँ पद Tₙ = a · rⁿ⁻¹

T₈ = a · (2)⁷ = 192

a × 128 = 192

a = 192 / 128 = 3 / 2

अब 12वाँ पद (T₁₂):

T₁₂ = a · r¹¹

T₁₂ = (3 / 2) × 2¹¹

T₁₂ = 3 × 2¹⁰ = 3 × 1024 = 3072

.

शब्द MATHEMATICS में कुल अक्षर N = 11

अक्षरों की पुनरावृत्ति:

M = 2, A = 2, T = 2, E = 1, H = 1, I = 1, C = 1, S = 1

कुल शब्दों की संख्या = 11! / (2! × 2! × 2!)

= 39916800 / (2 × 2 × 2)

= 39916800 / 8 = 4989600

.

बायाँ पक्ष (L.H.S.):

L.H.S. = cos² 2x - cos² 6x

सूत्र sin² A - sin² B = sin(A + B) sin(A - B) का प्रयोग करने के लिए cos को sin में बदलने पर:

= (1 - sin² 2x) - (1 - sin² 6x)

= sin² 6x - sin² 2x

यहाँ A = 6x तथा B = 2x रखने पर:

= sin(6x + 2x) · sin(6x - 2x)

= sin 8x · sin 4x

= sin 4x · sin 8x = दायाँ पक्ष (R.H.S.)

(इति सिद्धम्)

3. किन्हीं पाँच खण्डों को हल कीजिए

.

मान लीजिए F = फ्रेंच बोलने वालों का समुच्चय, S = स्पैनिश बोलने वालों का समुच्चय

दिया है: n(F) = 50, n(S) = 20, n(F ∩ S) = 10

कम से कम एक भाषा बोलने वालों की संख्या n(F ∪ S):

n(F ∪ S) = n(F) + n(S) - n(F ∩ S)

n(F ∪ S) = 50 + 20 - 10 = 60

अतः 60 व्यक्ति कम से कम एक भाषा बोल सकते हैं।

.

फलन f(x) तब परिभाषित होगा जब उसका हर शून्य न हो (x² - 8x + 12 ≠ 0)।

हर के गुणनखंड करने पर:

x² - 8x + 12 = 0

x² - 6x - 2x + 12 = 0

(x - 6)(x - 2) = 0

⇒ x = 2, 6

अतः x ≠ 2 और x ≠ 6

फलन का प्रान्त (Domain) = R - 2, 6

.

हम जानते हैं कि: 3x = 2x + x

दोनों पक्षों का cot लेने पर:

cot 3x = cot(2x + x)

सूत्र cot(A + B) = (cot A cot B - 1) / (cot B + cot A) से:

cot 3x = (cot 2x · cot x - 1) / (cot x + cot 2x)

तिर्यक गुणा करने पर:

cot 3x (cot x + cot 2x) = cot 2x · cot x - 1

cot 3x · cot x + cot 3x · cot 2x = cot 2x · cot x - 1

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

cot x · cot 2x - cot 2x · cot 3x - cot 3x · cot x = 1

(इति सिद्धम्)

.

दिया है: x - iy = √[(a - ib)/(c - id)] ---- (समीकरण 1)

सयुग्मी (Conjugate) लेने पर:

x + iy = √[(a + ib)/(c + id)] ---- (समीकरण 2)

समीकरण (1) और (2) का आपस में गुणा करने पर:

(x - iy)(x + iy) = √[ (a - ib)(a + ib) / (c - id)(c + id) ]

x² - i²y² = √[ (a² - i²b²) / (c² - i²d²) ]

चूँकि i² = -1:

x² + y² = √[ (a² + b²) / (c² + d²) ]

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

(x² + y²)² = (a² + b²) / (c² + d²)

(इति सिद्धम्)

.

पहली असमिका:

10x - 35 - 6x - 18 ≤ 0

4x - 53 ≤ 0 ➔ 4x ≤ 53 ➔ x ≤ 53/4 (x ≤ 13.25)

दूसरी असमिका:

2x + 19 ≤ 6x + 47

19 - 47 ≤ 6x - 2x

-28 ≤ 4x ➔ 4x ≥ -28 ➔ x ≥ -7

दोनों असमिकाओं के उभयनिष्ठ हल से:

-7 ≤ x ≤ 53/4

अतः हल अंतराल: x ∈ [-7, 53/4]

.

अंश और हर दोनों को x से भाग देने पर:

lim (x → 0) [ (sin ax / x) + b ] / [ a + (sin bx / x) ]

अंश व हर के पदों को मानक सीमा के रूप में व्यवस्थित करने पर:

= lim (x → 0) [ a · (sin ax / ax) + b ] / [ a + b · (sin bx / bx) ]

चूँकि lim (x → 0) sin kx / kx = 1 होता है:

= (a · 1 + b) / (a + b · 1)

= (a + b) / (a + b) = 1

4. किन्हीं पाँच खण्डों को हल कीजिए

.

दिया है: lim (x → 1) f(x) = f(1) = 4

1. वाम पक्ष सीमा (LHL):

LHL = lim (x → 1⁻) (a + bx) = a + b(1) = a + b

LHL = f(1) ➔ a + b = 4 ---- (समीकरण 1)

2. दक्षिण पक्ष सीमा (RHL):

RHL = lim (x → 1⁺) (b - ax) = b - a(1) = b - a

RHL = f(1) ➔ b - a = 4 ---- (समीकरण 2)

समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:

(a + b) + (b - a) = 4 + 4

2b = 8 ➔ b = 4

b का मान समीकरण (1) में रखने पर:

a + 4 = 4 ➔ a = 0

अतः a = 0 तथा b = 4

.

दिया है: S♁ = Pn + Qn²

• n = 1 रखने पर:

S₁ = T₁ = P(1) + Q(1)² = P + Q

• n = 2 रखने पर:

S₂ = P(2) + Q(2)² = 2P + 4Q

दूसरा पद T₂ = S₂ - S₁:

T₂ = (2P + 4Q) - (P + Q) = P + 3Q

सार्वअंतर (d) = T₂ - T₁:

d = (P + 3Q) - (P + Q) = 2Q

अतः सार्वअंतर 2Q है।

.

मान लीजिए f(x) = sin x

प्रथम सिद्धान्त का सूत्र: f'(x) = lim (h → 0) [f(x + h) - f(x)] / h

f'(x) = lim (h → 0) [sin(x + h) - sin x] / h

सूत्र sin C - sin D = 2 cos[(C + D)/2] sin[(C - D)/2] लगाने पर:

= lim (h → 0) [ 2 cos(x + h/2) sin(h/2) ] / h

= lim (h → 0) cos(x + h/2) · [ sin(h/2) / (h/2) ]

सीमा h → 0 लागू करने पर:

= cos(x + 0) · 1

= cos x

अतः d/dx (sin x) = cos x

.

3D दूरी सूत्र d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²] से:

1. AB² = (-1 - 0)² + (6 - 7)² + (6 - 10)²

AB² = 1 + 1 + 16 = 18

2. BC² = [-4 - (-1)]² + (9 - 6)² + (6 - 6)²

BC² = (-3)² + 3² + 0² = 9 + 9 + 0 = 18

3. AC² = (-4 - 0)² + (9 - 7)² + (6 - 10)²

AC² = (-4)² + 2² + (-4)² = 16 + 4 + 16 = 36

जाँच:

AB² + BC² = 18 + 18 = 36 = AC²

चूँकि यह पाइथागोरस प्रमेय (AB² + BC² = AC²) को संतुष्ट करता है, अतः A, B, C एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।

.

रेखा का व्यापक समीकरण:

x/3 + y/4 = 1 ➔ 4x + 3y - 12 = 0

मूल बिंदु (0, 0) से रेखा Ax + By + C = 0 पर लम्ब की लम्बाई p का सूत्र:

p = -12 / √(4² + 3²)

p = 12 / √(16 + 9)

p = 12 / √25 = 12 / 5 = 2.4 इकाई

.

नाभियाँ Y-अक्ष पर हैं (0, ±be) = (0, ±√10) ➔ b²e² = 10

मानक अतिपरवलय समीकरण: y²/b² - x²/a² = 1

संबंध a² = b²(e² - 1) = b²e² - b² = 10 - b²

अतः समीकरण रूप: y²/b² - x²/(10 - b²) = 1

बिंदु (2, 3) को समीकरण में रखने पर:

3²/b² - 2²/(10 - b²) = 1

9/b² - 4/(10 - b²) = 1

मान लीजिए b² = t:

9(10 - t) - 4t = t(10 - t)

90 - 9t - 4t = 10t - t²

t² - 23t + 90 = 0

(t - 18)(t - 5) = 0

चूँकि b²e² = 10 है, b² < 10 होना अनिवार्य है। अतः t = b² = 5।

तब a² = 10 - 5 = 5

अतः अतिपरवलय का समीकरण: y²/5 - x²/5 = 1 या y² - x² = 5

.

1. समबाहु त्रिभुज OAB के शीर्ष O(0,0) हैं। सममिति से A और B Y-अक्ष के दोनों ओर स्थित होंगे।

यदि OA रेखा X-अक्ष से 30° का कोण बनाती है:

बिंदु A के निर्देशांक (r cos 30°, r sin 30°) = (r√3/2, r/2), जहाँ r भुजा की लंबाई है।

2. बिंदु A परवलय y² = 4ax पर स्थित है:

(r/2)² = 4a (r√3/2)

r² / 4 = 2√3 a r

r से भाग देने पर (r ≠ 0):

r / 4 = 2√3 a

⇒ r = 8√3 a (भुजा की लंबाई)

3. समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल:

क्षेत्रफल = (√3 / 4) × r²

क्षेत्रफल = (√3 / 4) × (8√3 a)²

क्षेत्रफल = (√3 / 4) × (192 a²) = 48√3 a² वर्ग इकाई

.

दिया है: Sₘ / Sₙ = m² / n²

[ (m/2) 2a + (m - 1)d ] / [ (n/2) 2a + (n - 1)d ] = m² / n²

[ 2a + (m - 1)d ] / [ 2a + (n - 1)d ] = m / n

m-वें और n-वें पद का अनुपात Tₘ / T♁ = [a + (m - 1)d] / [a + (n - 1)d] प्राप्त करने के लिए:

m के स्थान पर (2m - 1) तथा n के स्थान पर (2n - 1) रखने पर:

[ 2a + (2m - 2)d ] / [ 2a + (2n - 2)d ] = (2m - 1) / (2n - 1)

अंश और हर से 2 उभयनिष्ठ लेकर काटने पर:

[ a + (m - 1)d ] / [ a + (n - 1)d ] = (2m - 1) / (2n - 1)

Tₘ / T♁ = (2m - 1) / (2n - 1)

(इति सिद्धम्)