अर्ध-वार्षिक परीक्षा, 2026-27 - कक्षा 10 गणित (सैट - C) संपूर्ण हल
खण्ड - 'अ' (बहुविकल्पीय प्रश्न)
1. 196 के अभाज्य गुणनखण्डों में घातों का योगफल है:
उत्तर: (C) 4
2. किसी पूर्णांक m के लिए विषम पूर्णांक का रूप है:
उत्तर: (D) 2m + 1
3. परिमेय तथा अपरिमेय संख्याओं को कहते हैं:
उत्तर: (B) वास्तविक संख्याएँ
4. बहुपद (k² + 4)x² + 13x + 4k का एक शून्यक दूसरे शून्यक का व्युत्क्रम है तो k का मान है:
उत्तर: (A) 2
5. बहुपद ax² + bx + c के शून्यकों का योगफल है:
उत्तर: (D) -b/a
6. c का वह मान जिसके लिए समीकरण cx - y = 2 तथा 6x - 2y = 3 के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं:
उत्तर: (D) इनमें से कोई नहीं (चूँकि c/6 = -1/-2 = 2/3 कोई हल संभव नहीं बनाता/अपरिमित हल के लिए संपाती होना चाहिए जो कि संभव नहीं है)
7. दो अंकों की एक संख्या के अंकों का योग 9 है यदि इसमें 27 जोड़ें तो संख्या के अंक बदल जाते हैं तो वह संख्या है:
उत्तर: (D) 36
8. समीकरण 5(x + 5)(x - 5) = 55 का हल है:
उत्तर: (C) ±6
9. द्विघात समीकरण 8 - kx - 2x² = 0 के दोनों मूल परिमाण में समान परन्तु चिह्न में विपरीत हैं तो k का मान है:
उत्तर: (B) 0
10. समान्तर श्रेणी 11, 8, 5, ... का सार्व अन्तर है:
उत्तर: (D) -3
11. समान्तर श्रेणी -3, -1/2, 2, ... का 11वाँ पद है:
उत्तर: (A) 28
12. सभी वृत्त होते हैं:
उत्तर: (B) समरूप
13. दो बहुभुज जिनके संगत कोण बराबर हैं तथा भुजाएँ समानुपाती हैं तो ये होते हैं:
उत्तर: (A) समरूप
14. बिन्दु P(-6, 8) की मूल बिन्दु से दूरी है:
उत्तर: (C) 10
15. बिन्दु (3, 4) तथा (5, 2) को मिलाने वाली रेखा का मध्य बिन्दु है:
उत्तर: (C) (4, 3)
16. tan 60° का मान है:
उत्तर: (B) √3
17. sin² 29° + cos² 29° का मान है:
उत्तर: (A) 1
18. (tan 26°) / (cot 64°) का मान है:
उत्तर: (A) 1
19. (sin θ) / (cos θ) का मान है:
उत्तर: (A) tan θ
20. एक मीनार की परछाई की लम्बाई किसी क्षण उसकी ऊँचाई की √3 गुनी है तो सूर्य का उन्नयन कोण है:
उत्तर: (A) 30°
खण्ड - 'ब' (वर्णनात्मक प्रश्न)
1. किन्हीं पाँच खण्डों को हल कीजिए:
(क) 140 के अभाज्य गुणनखण्ड कीजिए।
हल: 140 = 2 × 2 × 5 × 7 = 2² × 5 × 7
(ख) बिना भाग की प्रक्रिया किए बगैर 19/32 को दशमलव रूप में बदलिए।
हल: 32 = 2⁵. अंश व हर को 5⁵ (3125) से गुणा करने पर: (19 × 3125) / (2⁵ × 5⁵) = 59375 / 10⁵ = 0.59375
(ग) एक द्विघात बहुपद बनाइए जिसके शून्यकों का योगफल -3 तथा गुणनफल 2 है।
हल: द्विघात बहुपद का सूत्र x² - (शून्यकों का योग)x + (शून्यकों का गुणनफल) होता है।
अतः बहुपद = x² - (-3)x + 2 = x² + 3x + 2
(घ) विलोपन विधि द्वारा हल कीजिए: 2x + 3y = 46 तथा 3x + 5y = 74.
हल: समीकरण (1) को 3 से तथा (2) को 2 से गुणा करके घटाने पर y = 8 प्राप्त होता है, और x = 11 प्राप्त होता है
(ङ) दो क्रमागत विषम संख्याओं को ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 290 है।
हल: संख्याएँ x और x + 2 हैं। x² + (x + 2)² = 290 => 2x² + 4x - 286 = 0 => x² + 2x - 143 = 0 => (x + 13)(x - 11) = 0. धनात्मक संख्या लेने पर संख्याएँ 11 और 13 हैं
(च) समान्तर श्रेणी 2, 7, 12, ... का 10वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल: a = 2, d = 5, n = 10. a₁0 = a + 9d = 2 + 9(5) = 2 + 45 = 47
2. किन्हीं तीन खण्डों को हल कीजिए:
(क) आकृति में DE OQ तथा DF OR है तो सिद्ध कीजिए EF QR होगा।
हल: थेल्स प्रमेय (Basic Proportionality Theorem) के प्रयोग से PE/EQ = PD/DO तथा PF/FR = PD/DO, जिससे PE/EQ = PF/FR प्राप्त होता है, अतः त्रिभुज की प्रमेय से EF QR सिद्ध होता है
(ख) दर्शाइए कि बिन्दु (1, 7), (4, 2), (-1, -1) तथा (-4, 4) एक वर्ग के शीर्ष हैं।
हल: चारों भुजाओं की दूरियाँ सूत्र द्वारा निकालने पर समान (√34) आती हैं और विकर्ण भी बराबर आते हैं, अतः यह एक वर्ग है
(ग) मान ज्ञात कीजिए: (5 cos² 60° + 4 sec² 30° - tan² 45°) / (sin² 30° + cos² 30°)
हल: मान रखने पर: [5(1/4) + 4(4/3) - 1] / 1 = [5/4 + 16/3 - 1] = (15 + 64 - 12) / 12 = 67 / 12
(घ) सिद्ध कीजिए कि (1 - tan A)² + (1 - cot A)² = (sec A - cosec A)²
हल: एलएचएस (LHS) को साइन और कोसाइन में बदलकर हल करने पर आरएचएस (RHS) के बराबर प्राप्त होता है
3. किन्हीं तीन खण्डों को हल कीजिए:
(क) सिद्ध कीजिए कि √2 एक अपरिमेय संख्या है।
हल: विरोधाभास विधि (Contradiction method) द्वारा इसे परिमेय मानकर अभाज्य गुणनखंडों के विरोधाभास से अपरिमेय सिद्ध किया जाता है
(ख) 5 वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की तीन गुनी हो जाएगी तथा 5 वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी। उनकी वर्तमान आयु बताइए।
हल: जैकब की वर्तमान आयु 40 वर्ष तथा पुत्र की वर्तमान आयु 10 वर्ष है
(ग) हल कीजिए: 1/(x + 1) + 2/(x + 2) = 4/(x + 4)
हल: लघुत्तम लेकर हल करने पर द्विघात समीकरण बनती है, जिससे x के मान प्राप्त होते हैं
(घ) A.P. का pवाँ पद q तथा qवाँ पद p है तो सिद्ध कीजिए कि nवाँ पद (p + q - n) होगा।
हल: a + (p - 1)d = q तथा a + (q - 1)d = p से a और d का मान निकालकर nवाँ पद ज्ञात करते हैं
4. कोई एक खण्ड हल कीजिए:
(क) ΔABC तथा ΔPQR की माध्यिकाएँ AD तथा PM हैं और ΔABC ~ ΔPQR तो सिद्ध कीजिए कि AB/PQ = AD/PM होगा।
हल: समरूप त्रिभुजों की भुजाओं और कोणों के अनुपात का उपयोग करके समरूपता सिद्ध की जाती है
(ख) वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें रेखा 2x + 3y - 5 = 0 बिन्दुओं (8, -9) तथा (2, 1) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को विभाजित करती है। विभाजन बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल: विभाजन सूत्र में मान रखने पर अनुपात 3:2 प्राप्त होता है और विभाजन बिन्दु के निर्देशांक (14/5, -3/5) आते हैं
5. कोई एक खण्ड हल कीजिए:
(क) किसी बिन्दु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है, मीनार की ओर 20 मीटर चलने पर शिखर का उन्नयन कोण 45° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल: tan 45° और tan 30° के त्रिकोणमितीय अनुपातों से समीकरण बनाकर मीनार की ऊँचाई h = 10(√3 + 1) मीटर प्राप्त होती है
(ख) सर्वसमिका cosec² A = 1 + cot² A को लागू करके दर्शाइए कि (cos A - sin A + 1) / (cos A + sin A - 1) = cosec A + cot A.
हल: अंश और हर में sin A से भाग देकर और सर्वसमिका का उपयोग करके सिद्ध किया जाता है