Solution

मान लीजिए 5 - √3 एक परिमेय संख्या है। अतः 5 - √3 = p/q (जहाँ p, q सह-अभाज्य पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0)।

इससे √3 = 5 - (p/q) प्राप्त होता है। चूँकि दाहिना पक्ष परिमेय है, इसलिए √3 को भी परिमेय होना चाहिए, जो कि विरोधाभास है क्योंकि √3 एक अपरिमेय संख्या है। अतः 5 - √3 एक अपरिमेय संख्या है।

(ख) K का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरण 2x + ky = 1 और 3x - 5y = 7 का एक अद्वितीय हल है।

हल: अद्वितीय हल के लिए प्रतिबंध है:

a₁/a₂ ≠ b₁/b₂

2/3 ≠ k / (-5)

k ≠ -10/3

(ग) बहुपद x² - x - 6 के शून्यक ज्ञात कीजिए।

हल: x² - 3x + 2x - 6 = 0

x(x - 3) + 2(x - 3) = 0

(x - 3)(x + 2) = 0

अतः शून्यक x = 3 तथा x = -2 हैं।

(घ) 3, -2, -7, -12, ... समान्तर श्रेणी के लिए प्रथम पद (a) तथा सार्वअन्तर (d) लिखिए।

हल: प्रथम पद a = 3

सार्वअन्तर d = -2 - 3 = -5

(ङ) द्विघात समीकरण y² + 2√3y + 3 = 0 को हल कीजिए।

हल: (y + √3)² = 0

अतः y = -√3, -√3

(च) बिन्दुओं (2, 3), (4, 1) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल: दूरी = √((4 - 2)² + (1 - 3)²) = √(2² + (-2)²) = √(4 + 4) = √8 = 2√2 इकाई।

मान लीजिए 5 + √3 एक परिमेय संख्या है। 5 + √3 = p/q => √3 = (p/q) - 5। चूंकि p/q - 5 परिमेय है, √3 भी परिमेय होनी चाहिए जो असंभव है। अतः यह अपरिमेय है।

(ख) समान्तर श्रेणी 2, 5, 8, 11, ... का 50 वाँ पद ज्ञात कीजिए।

हल: a = 2, d = 3, n = 50

a₅₀ = a + 49d = 2 + 49(3) = 2 + 147 = 149।

(ग) द्विघात समीकरण x - 3/x = 1/2 को हल कीजिए।

हल: (x² - 3)/x = 1/2 => 2x² - 6 = x => 2x² - x - 6 = 0

2x² - 4x + 3x - 6 = 0 => 2x(x - 2) + 3(x - 2) = 0

(x - 2)(2x + 3) = 0 => x = 2 या x = -3/2।

(घ) रैखिक समीकरण युग्म को हल कीजिए: 3x/2 + 5y/3 = -2, x/3 + y/2 = 13/6

हल: समीकरणों को सरल करने पर:

9x + 10y = -12 --- (1)

2x + 3y = 13 --- (2)

समीकरण (2) से: x = (13 - 3y)/2

समीकरण (1) में रखने पर: 9(13 - 3y)/2 + 10y = -12

(117 - 27y + 20y)/2 = -12 => 117 - 7y = -24 => 7y = 141 => y = 141/7 (या प्रदत्त मानों अनुसार हल)।

संरेखीय बिंदुओं के त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होता है:

1/2 K(1 - 5) + 2(5 - (-1)) + 4(-1 - 1) = 0

-4K + 2(6) + 4(-2) = 0

-4K + 12 - 8 = 0 => -4K + 4 = 0 => K = 1।

(ख) द्विघात समीकरण 4x² + 4bx - (a² - b²) = 0 से x का मान ज्ञात कीजिए।

हल: द्विघात सूत्र से x = -4b ± √((4b)² - 4(4)(-(a² - b²))) / 2(4)

= -4b ± √(16b² + 16(a² - b²)) / 8

= -4b ± √(16a²) / 8 = (-4b ± 4a) / 8 = (-b ± a) / 2।

(ग) 4x² - 3x - 1 बहुपद के शून्यक ज्ञात कीजिए तथा संबंधों को सत्यापित कीजिए।

हल: 4x² - 4x + x - 1 = 0 => 4x(x - 1) + 1(x - 1) = 0 => (4x + 1)(x - 1) = 0

शून्यक x = 1, -1/4।

शून्यकों का योग = 1 - 1/4 = 3/4 = -(-3)/4 (सत्यापित)।

(घ) समान्तर श्रेणी 21, 18, 15, ... का कौन-सा पद -81 है? क्या कोई पद शून्य है?

हल: a = 21, d = -3, aₙ = -81

-81 = 21 + (n - 1)(-3) => -102 = -3(n - 1) => n - 1 = 34 => n = 35 वाँ पद।

शून्य के लिए: 0 = 21 + (n - 1)(-3) => 3(n - 1) = 21 => n - 1 = 7 => n = 8 (अर्थात 8वाँ पद शून्य है)।

मान लीजिए 2 + √3 एक परिमेय संख्या है। 2 + √3 = p/q => √3 = (p/q) - 2। चूँकि दाहिना पक्ष परिमेय है, √3 को भी परिमेय होना चाहिए, जो कि असत्य है। अतः यह अपरिमेय है।

(ख) दो अंकों का योग 8 है तथा उनके व्युत्क्रमों का योग 8/15 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

हल: माना संख्याएँ x और 8 - x हैं।

1/x + 1/(8 - x) = 8/15

(8 - x + x) / (x(8 - x)) = 8/15 => 8 / (8x - x²) = 8/15

8x - x² = 15 => x² - 8x + 15 = 0

(x - 3)(x - 5) = 0 => x = 3 या 5।

संख्याएँ 3 और 5 हैं।

x-अक्ष द्वारा विभाजन (y = 0): y = (m₁y₂ + m₂y₁) / (m₁ + m₂) = 0

=> 1(-3) + m₂(8) = 0 => 8m₂ = 3m₁ => m₁ : m₂ = 8 : 3।

y-अक्ष द्वारा विभाजन (x = 0): x = (m₁x₂ + m₂x₁) / (m₁ + m₂) = 0

=> m₁(7) + m₂(5) = 0 => 7m₁ = -5m₂ => m₁ : m₂ = -5 : 7 (बाह्य विभाजन)।

(ख) यदि Sₙ समान्तर श्रेणी के n पदों का योगफल व्यक्त करता है, तब सिद्ध कीजिए: S₁₂ = 3(S₈ - S₄)

हल: Sₙ = n/2 [2a + (n - 1)d]

S₁₂ = 12/2 [2a + 11d] = 6(2a + 11d) = 12a + 66d

S₈ = 4(2a + 7d) = 8a + 28d

S₄ = 2(2a + 3d) = 4a + 6d

S₈ - S₄ = (8a + 28d) - (4a + 6d) = 4a + 22d

3(S₈ - S₄) = 3(4a + 22d) = 12a + 66d

अतः S₁₂ = 3(S₈ - S₄) (इति सिद्धम्)।