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UP Board Class 10th Mathematics Board Paper 2026 822(GA)

कक्षा 10वीं · गणित · 2026 · बोर्ड परीक्षा

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उप्र बोर्ड कक्षा 10 गणित बोर्ड परीक्षा 2026 (सैट - 822 GA) संपूर्ण हल

खण्ड - 'अ' (बहुविकल्पीय प्रश्न)

1. यदि (3x + 5y) / (3x - 5y) = 7/3, तो x:y का मान होगा:

उत्तर: (A) 25:6

हल: 3(3x + 5y) = 7(3x - 5y) => 9x + 15y = 21x - 35y => 12x = 50y => x/y = 50/12 = 25/6

2. समीकरण 3x² - 2x + 1/3 = 0 का विविक्तकर होगा:

उत्तर: (A) 0

हल: D = b² - 4ac = (-2)² - 4(3)(1/3) = 4 - 4 = 0

3. निम्नलिखित सारणी का बहुलक वर्ग होगा:

(2-4: 2, 4-6: 4, 6-8: 7, 8-10: 3, 10-12: 4)

उत्तर: (D) 6-8

हल: अधिकतम बारंबारता 7 है, जो अन्तराल 6-8 के अंतर्गत आती है।

4. बिन्दुओं (2, 3) और (4, 1) के बीच की दूरी होगी:

उत्तर: (B) 2√2 मात्रक

हल: √[(4 - 2)² + (1 - 3)²] = √(2² + (-2)²) = √(4 + 4) = √8 = 2√2

5. यदि 25 तथा 15 का HCF 5 है, तो उनका LCM होगा:

उत्तर: (B) 75

हल: LCM = (25 × 15) / 5 = 375 / 5 = 75

6. यदि cot A = 1, तो 2 cos A sin A का मान होगा:

उत्तर: (C) 1

हल: cot A = 1 => A = 45°. 2(cos 45°)(sin 45°) = 2(1/√2)(1/√2) = 2(1/2) = 1

7. केन्द्र से 13 सेमी दूर स्थित बिन्दु से स्पर्श-रेखा की लम्बाई 12 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या होगी:

उत्तर: (A) 5 सेमी

हल: r = √(13² - 12²) = √(169 - 144) = √25 = 5 सेमी

8. 10 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का चाप केन्द्र पर समकोण बनाता है। चाप की लम्बाई होगी:

उत्तर: (D) 5π सेमी

हल: (90° / 360°) × 2π(10) = (1/4) × 20π = 5π सेमी

9. यदि माध्यिका 24 तथा माध्य 15 है, तो बहुलक होगा:

उत्तर: (D) 42

हल: बहुलक = 3(माध्यिका) - 2(माध्य) = 3(24) - 2(15) = 72 - 30 = 42

10. पासे को एक बार फेंकने पर विषम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता होगी:

उत्तर: (B) 1/2

हल: विषम संख्याएँ 1, 3, 5 (कुल 3), प्रायिकता = 3/6 = 1/2

11. संख्या 1560 का अभाज्य गुणनखण्ड होगा:

उत्तर: (C) 2³ × 3 × 5 × 13

हल: 1560 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 13 = 2³ × 3 × 5 × 13

12. मीनार की ऊँचाई 20 मी तथा छाया 20√3 मी है। उन्नयन कोण का मान है:

उत्तर: (A) 30°

हल: tan θ = 20 / (20√3) = 1/√3 => θ = 30°

13. 14 सेमी त्रिज्या के वृत्त का चाप केन्द्र पर 30° का कोण बनाता है। त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल होगा:

उत्तर: (B) 154/3 सेमी²

हल: (30° / 360°) × (22/7) × 14 × 14 = (1/12) × 616 = 154/3 सेमी²

14. समान्तर श्रेणी 21, 18, 15, ... का कौन सा पद -81 है?

उत्तर: (B) 35 वाँ पद

हल: a = 21, d = -3, aₙ = -81 => 21 + (n - 1)(-3) = -81 => -3(n - 1) = -102 => n - 1 = 34 => n = 35

15. थैले में 2 नीली, 3 सफेद और 4 लाल गेंदें हैं। लाल नहीं होने की प्रायिकता होगी:

उत्तर: (A) 5/9

हल: लाल न होने वाली गेंदें = 2 + 3 = 5, कुल = 9. प्रायिकता = 5/9

16. समीकरण 3x - y = 5 में y = 7 हो, तो x का मान होगा:

उत्तर: (A) 4

हल: 3x - 7 = 5 => 3x = 12 => x = 4

17. द्विघात बहुपद p(x) = 4x² - 4x - 1 के शून्यकों का गुणनफल होगा:

उत्तर: (B) -1/4

हल: c/a = -1/4

18. (1 + tan² A) / (1 + cot² A) का मान होगा:

उत्तर: (D) tan² A

हल: (sec² A) / (cosec² A) = (1/cos² A) / (1/sin² A) = sin² A / cos² A = tan² A

19. निम्नलिखित सारणी का माध्यिका वर्ग होगा:

(0-10: 6, 10-20: 8, 20-30: 10, 30-40: 9, 40-50: 12)

उत्तर: (C) 20-30

हल: कुल N = 45, N/2 = 22.5. संचयी बारंबारता के अनुसार माध्यिका वर्ग 20-30 है।

20. ΔABC तथा ΔDEF में, ∠B = ∠E, तो त्रिभुज समरूप होंगे यदि:

उत्तर: (B) AB/DE = BC/EF (SAS कसौटी)

खण्ड - 'ब' (वर्णनात्मक प्रश्न)

प्रश्न 1.

सभी खण्ड कीजिए:

(a) सिद्ध कीजिए कि (3 - √2) एक अपरिमेय संख्या है।

उत्तर:

मान लीजिए (3 - √2) परिमेय है, अतः (3 - √2) = p/q => √2 = 3 - (p/q)। चूँकि दायाँ पक्ष परिमेय है, √2 भी परिमेय होना चाहिए जो कि विरोधाभास है। अतः यह अपरिमेय है।

(b) y-अक्ष पर वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जो (2, -5) तथा (-2, 9) से समदूरस्थ हो।

हल: माना बिन्दु P(0, y) है।

(0 - 2)² + (y - (-5))² = (0 - (-2))² + (y - 9)²

4 + y² + 10y + 25 = 4 + y² - 18y + 81

28y = 56 => y = 2. अतः बिन्दु (0, 2) है।

हल: विभाजन बिन्दु P, Q, R रेखाखण्ड को 1:3, 2:2, और 3:1 के अनुपात में विभाजित करते हैं।

P = (6.5, 1), Q = (5, 0), R = (3.5, -1)।

(d) सिद्ध कीजिए कि √[(1 + sin x) / (1 - sin x)] = sec x + tan x

हल: बाएँ पक्ष को (1 + sin x) से अंश व हर में गुणा करने पर:

√[(1 + sin x)² / (1 - sin² x)] = (1 + sin x) / cos x = 1/cos x + sin x/cos x = sec x + tan x।

(e) 52 पत्तों की गड्डी से प्रायिकता:

(i) लाल रंग का बादशाह = 2 / 52 = 1 / 26

(ii) काले रंग का इक्का = 2 / 52 = 1 / 26

(f) त्रिज्या 14 सेमी वाले वृत्त की जीवा केन्द्र पर 120° का कोण अंतरित करती है। संगत लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल: त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल - Δ का क्षेत्रफल = [(120°/360°) × (22/7) × 14²] - [(1/2) × 14² × sin 120°] = 215.6 - 84.87 = 130.73 सेमी² (लगभग)।

प्रश्न 2.

किन्हीं पाँच खण्डों को हल कीजिए:

(a) AC DE तथा AE DF में सिद्ध कीजिए कि BF/FE = BE/EC।

उत्तर:

थैल्स प्रमेय (Thales's Theorem) के प्रयोग से अनुपातों की समानता द्वारा सिद्ध होता है।

(b) वृत्त के परिगत चतुर्भुज ABCD के लिए सिद्ध कीजिए: AB + CD = AD + BC।

हल: बाह्य बिन्दुओं से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाईयाँ समान होती हैं (PA = PB)। इनके योग से परिणाम प्राप्त होता है।

हल: √2x² + 5x + 2x + 5√2 = 0 => x(√2x + 5) + √2(√2x + 5) = 0 => (x + √2)(√2x + 5) = 0. मूल: x = -√2 तथा x = -5/√2।

(d) किसी समान्तर श्रेणी का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।

हल: a₁7 = a₁0 + 7 => a + 16d = a + 9d + 7 => 7d = 7 => d = 1।

(e) यदि माध्यिका 28.5 है (N = 60), तो x और y ज्ञात कीजिए:

(0-10: 5, 10-20: x, 20-30: 20, 30-40: 15, 40-50: y, 50-60: 5)

हल: 5 + x + 20 + 15 + y + 5 = 60 => x + y = 15। माध्यिका वर्ग 20-30 है। सूत्र लगाने पर x = 8, y = 7 प्राप्त होते हैं।

(f) 12 खराब पेन 132 अच्छे पेनों में मिले हैं। अच्छा पेन निकलने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल: अच्छे पेन = 132, कुल पेन = 132 + 12 = 144. प्रायिकता = 132 / 144 = 11 / 12।

प्रश्न 3.

भिन्न ज्ञात कीजिए या रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए:

उत्तर:

(रेलगाड़ी वाला प्रश्न):

माना रेलगाड़ी की चाल x किमी/घंटा है।

समीकरण: 480/(x - 8) - 480/x = 3 => x² - 8x - 1280 = 0 => (x - 40)(x + 32) = 0 => x = 40 किमी/घंटा।

प्रश्न 4.

मीनार और भवन की ऊँचाई से संबंधित प्रश्न:

उत्तर:

मीनार की ऊँचाई 50 मीटर। भवन की ऊँचाई h = 50 / 3 = 16.67 मीटर।

प्रश्न 5.

तम्बू का पृष्ठीय क्षेत्रफल अथवा बेलन से शंक्वाकार खोल काटने पर शेष ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल:

उत्तर:

(तम्बू वाला प्रश्न):

बेलनाकार भाग की ऊँचाई h = 10 मी, शanku की ऊँचाई = 15 - 10 = 5 मी, त्रिज्या r = 12 मी, तिर्यक ऊँचाई l = √(12² + 5²) = 13 मी।

कैनवास क्षेत्रफल = 2πrh + πrl = πr(2h + l) = (22/7) × 12 × (20 + 13) = (22/7) × 12 × 33 = 1244.57 मी²।