उप्र बोर्ड कक्षा 10 गणित बोर्ड परीक्षा 2026 (सैट - 822 FY) संपूर्ण हल
UP Board Class 10th Mathematics Board Paper 2026 (Set 822 FY) Complete Solution
खण्ड - 'अ' (बहुविकल्पीय प्रश्न / Multiple Choice Questions)
Solution
UP Board Class 10th Mathematics Board Paper 2026 822(FY)
कक्षा 10वीं · गणित · 2026 · बोर्ड परीक्षा
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प्रश्न 1.
संख्याओं 24 और 40 का HCF होगा :
(A) 4
(B) 8
(C) 16
(D) 120
उत्तर:
(B) 8
हल: 24 = 2³ × 3 तथा 40 = 2³ × 5, अतः HCF = 2³ = 8
प्रश्न 2.
द्विघात बहुपद 2x² + 3x + 7 के शून्यकों का गुणनफल होगा :
(A) (7)/(2)
(B) (2)/(7)
(C) -(3)/(2)
(D) (3)/(2)
उत्तर:
(A) (7)/(2)
हल: शून्यकों का गुणनफल = (अचर पद)/(गुणांक x²) = (7)/(2)
प्रश्न 3.
यदि समीकरण (x)/(3) - (y)/(5) = 1 में y = 10, तो x का मान होगा :
(A) 3
(B) 6
(C) 9
(D) 12
उत्तर:
(C) 9
हल: (x)/(3) - (10)/(5) = 1 (x)/(3) - 2 = 1 (x)/(3) = 3 x = 9
प्रश्न 4.
द्विघात समीकरण x² - 3x + 2 = 0 के मूल होंगे :
(A) 1, 2
(B) -1, -2
(C) 1, -2
(D) -1, 2
उत्तर:
(A) 1, 2
हल: (x - 1)(x - 2) = 0 x = 1, 2
प्रश्न 5.
A.P.: 10, 7, 4, ... का 30 वाँ पद होगा :
(A) 77
(B) -77
(C) -87
(D) 97
उत्तर:
(B) -77
हल: a = 10, d = -3, n = 30 a₃₀ = 10 + 29(-3) = 10 - 87 = -77
प्रश्न 6.
यदि बिन्दु A(3,0), B(4,5), C(-1,4) और D(-2,-1) एक समचतुर्भुज के शीर्ष इसी क्रम में हों, तो विकर्णों के प्रतिच्छेद बिन्दु का निर्देशांक होगा :
(A) (2, -1)
(B) (-1, -2)
(C) (1, 2)
(D) (1, 2)
उत्तर:
(C) (1, 2)
हल: विकर्ण AC का मध्यबिन्दु = ((3 + (-1))/(2), (0 + 4)/(2)) = ((2)/(2), (4)/(2)) = (1, 2)
प्रश्न 7.
निम्नलिखित कथनों में सही कथन है :
(A) सभी आयत समरूप होते हैं
(B) सभी चतुर्भुज समरूप होते हैं
(C) सभी सर्वांगसम आकृतियाँ समरूप होती हैं
(D) सभी समरूप आकृतियाँ सर्वांगसम होती हैं
उत्तर:
(C) सभी सर्वांगसम आकृतियाँ समरूप होती हैं
प्रश्न 8.
चित्र में यदि BD = 4.0 सेमी, DA = 2.0 सेमी, AE = 1.7 सेमी और DE BC, तो EC की माप होगी :
(A) 7.5 सेमी
(B) 5.7 सेमी
(C) 4.6 सेमी
(D) 3.4 सेमी
उत्तर:
(D) 3.4 सेमी
हल: (AD)/(BD) = (AE)/(EC) (2.0)/(4.0) = (1.7)/(EC) (1)/(2) = (1.7)/(EC) EC = 3.4 सेमी।
प्रश्न 9.
ABC में यदि AB = 3 सेमी, BC = 4 सेमी तथा B = 90^°, तो A का मान होगा :
(A) (4)/(5)
(B) (5)/(8)
(C) (3)/(5)
(D) (3)/(4)
उत्तर:
(C) (3)/(5)
हल: कर्ण AC = √(3² + 4²) = 5 सेमी। A = (AB)/(AC) = (3)/(5)
प्रश्न 10.
2 30^° 30^° - 1 का मान होगा :
(A) 1
(B) 2
(C) 2√(3)
(D) 2√(3)
उत्तर:
(A) 1
हल: 30^° 30^° = 1 2(1) - 1 = 1
प्रश्न 11.
(1 + ² A)/(1 + ² A) का मान होगा :
(A) ² A
(B) ² A
(C) ² A
(D) ² A
उत्तर:
(B) ² A
हल: (1 + ² A)/(1 + ² A) = ( ² A)/( ² A) = ((1)/( ² A))/((1)/( ² A)) = ( ² A)/( ² A) = ² A
प्रश्न 12.
( A + A)(1 - A) का मान होगा :
(A) A
(B) A
(C) A
(D) A
उत्तर:
(B) A
हल: ((1)/( A) + ( A)/( A))(1 - A) = (1 - ² A)/( A) = ( ² A)/( A) = A
प्रश्न 13.
दो संख्याओं 36 और 48 का LCM होगा :
(A) 72
(B) 96
(C) 120
(D) 144
उत्तर:
(D) 144
हल: 36 = 2² × 3², 48 = 2⁴ × 3, अतः LCM = 2⁴ × 3² = 16 × 9 = 144
प्रश्न 14.
दो संख्याओं के HCF तथा LCM क्रमशः 24 और 360 हैं। यदि एक संख्या 72 है, तो दूसरी संख्या होगी :
(A) 30
(B) 60
(C) 90
(D) 120
उत्तर:
(D) 120
हल: दूसरी संख्या = (24 × 360)/(72) = (360)/(3) = 120
प्रश्न 15.
यदि किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता 59% है, तो उस घटना के घटित न होने की प्रायिकता होगी :
(A) 0.41
(B) 0.59
(C) 0.51
(D) (1)/(59)
उत्तर:
(A) 0.41
हल: 1 - 0.59 = 0.41
प्रश्न 16.
यदि कुछ प्रेक्षणों के माध्य और माध्यिका क्रमशः 13 और 12 हैं, तो इन आंकड़ों का बहुलक होगा :
(A) 9.5
(B) 10
(C) 11
(D) 11.5
उत्तर:
(B) 10
हल: बहुलक = 3(माध्यिका) - 2(माध्य) = 3(12) - 2(13) = 36 - 26 = 10
प्रश्न 17.
7 सेमी त्रिज्या के वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल होगा :
(A) 38 cm²
(B) 38.5 cm²
(C) (77)/(4) cm²
(D) 39.5 cm²
उत्तर:
(B) 38.5 cm²
हल: क्षेत्रफल = (1)/(4) π r² = (1)/(4) × (22)/(7) × 7 × 7 = (77)/(2) = 38.5 cm²
प्रश्न 18.
यदि 600 सेमी आयतन के एक ठोस बेलन में से उसी ऊँचाई और उसी व्यास का एक शंकवाकार खोल काट लिया जाता है, तो शेष बचे ठोस का आयतन होगा :
(A) 200 cm³
(B) (800)/(3) cm³
(C) 300 cm³
(D) 400 cm³
उत्तर:
(D) 400 cm³
हल: शेष आयतन = बेलन का आयतन - शंकु का आयतन = 600 - (1)/(3)(600) = 600 - 200 = 400 cm³
प्रश्न 19.
निम्नांकित बारंबारता सारणी का माध्यिका-वर्ग होगा :
(वर्ग-अंतराल: 10-20 (8), 20-30 (12), 30-40 (17), 40-50 (13), 50-60 (7), 60-70 (3))
(A) 10-20
(B) 20-30
(C) 30-40
(D) 60-70
उत्तर:
(C) 30-40
हल: कुल आवृत्ति N = 60 N/2 = 30. संचयी बारंबारता के अनुसार माध्यिका वर्ग 30-40 है।
प्रश्न 20.
निम्नांकित बारंबारता सारणी का बहुलक वर्ग होगा :
(वर्ग-अंतराल: 4-8 (2), 8-12 (5), 12-16 (3), 16-20 (4), 20-24 (3))
(A) 4-8
(B) 20-24
(C) 16-20
(D) 12-16
उत्तर:
(अथवा सही वर्ग 8-12 है, विकल्पों के अनुसार निकटतम या यदि दूसरा सेट हो तो समझें)
खण्ड - 'ब' (वर्णनात्मक प्रश्न)
प्रश्न 1.
सभी खण्ड कीजिए :
(a) सिद्ध कीजिए कि 6√(3) एक अपरिमेय संख्या है।
उत्तर:
• माना 6√(3) एक परिमेय संख्या है, अतः 6√(3) = (p)/(q) (p, q पूर्णांक, q ≠ 0).
• √(3) = (p)/(6q). चूँकि दाहिना पक्ष परिमेय है, √(3) भी परिमेय होनी चाहिए जो कि सत्य नहीं है।
• अतः 6√(3) एक अपरिमेय संख्या है। (इति सिद्धम्) [अंक: 2]
(b) बिन्दुओं (15, 36) और (0,0) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
• दूरी = √((15 - 0)² + (36 - 0)²) = √(225 + 1296) = √(1521) = 39 इकाई। [अंक: 2]
(c) बिन्दुओं (8,-2) और (-4,-6) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को समत्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
• पहला बिंदु P(1:2 अनुपात पर): P = ((1(-4) + 2(8))/(1+2), (1(-6) + 2(-2))/(1+2)) = ((12)/(3), (-10)/(3)) = (4, -(10)/(3))
• दूसरा बिंदु Q(2:1 अनुपात पर): Q = ((2(-4) + 1(8))/(2+1), (2(-6) + 1(-2))/(2+1)) = ((0)/(3), (-14)/(3)) = (0, -(14)/(3)) [अंक: 2]
(d) सिद्ध कीजिए कि ( θ - 2 ³ θ)/( θ - 2 ³ θ) + θ = 0
हल:
• बायां पक्ष: ( θ(1 - 2 ² θ))/( θ(1 - 2 ² θ)) = ( θ(1 - 2 ² θ))/( θ(2 ² θ - 1)) = - θ
• - θ + θ = 0 = RHS (इति सिद्धम्) [अंक: 2]
(e) यदि त्रिज्या 7 सेमी वाले वृत्त का एक चाप केन्द्र पर 135^° का कोण अन्तरित करता है, तो चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल:
• चाप की लंबाई = (135^°)/(360^°) × 2 × (22)/(7) × 7 = (3)/(8) × 44 = (33)/(2) = 16.5 सेमी। [अंक: 2]
(f) निम्नांकित बारंबारता सारणी का बहुलक ज्ञात कीजिए...
हल: बहुलक सूत्र का प्रयोग करके मान ज्ञात किया जाता है। [अंक: 2]
प्रश्न 2.
किन्हीं पाँच खण्डों को हल कीजिए :
(a) PA और PB बाह्य बिन्दु P से, O केन्द्र वाले वृत्त पर खींची गयी स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि AOB = 120^° तथा OA = 8 सेमी है, तो (i) OPA का मान ज्ञात कीजिए, (ii) जीवा AB की लंबाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
• OPA = 30^°, जीवा AB = 8√(3) सेमी। [अंक: 4]
(b) एक त्रिभुज PQR की भुजा QR पर एक बिन्दु M इस प्रकार है कि PMR = QPR है। सिद्ध कीजिए कि RP² = RQ × RM है।
हल: त्रिभुजों की समरूपता ( RPM RQP) द्वारा सिद्ध होता है। [अंक: 4]
(c) एक थैले में कार्ड हैं जिन पर 1 से 100 संख्याएँ अंकित हैं... (i) पूर्ण वर्ग संख्या की प्रायिकता = (10)/(100) = (1)/(10), (ii) 2-अंकीय संख्या की प्रायिकता = (90)/(100) = (9)/(10) [अंक: 4]
(d) माध्यिका ज्ञात कीजिए... [अंक: 4]
(e) यदि किसी A.P. के प्रथम 11 पदों का योग 121 और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो उसके प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल: Sₙ = n² [अंक: 4]
(f) निम्नांकित रैखिक समीकरणों के युग्म को हल कीजिए : 3x + 2y = 14, 5x - 3y = 1
हल: x = 2, y = 4 [अंक: 4]
प्रश्न 3.
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो। (6 अंक)
उत्तर:
• माना संख्याएँ x और x + 1 हैं।
• x² + (x + 1)² = 365 2x² + 2x - 364 = 0 x² + x - 182 = 0
• (x - 13)(x + 14) = 0 x = 13
• संख्याएँ 13 और 14 हैं।
अथवा / OR: एक रेलगाड़ी 360 किमी की दूरी एकसमान चाल के साथ तय करती है... (चाल 40 किमी/घंटा या 45 किमी/घंटा) [अंक: 6]
प्रश्न 4.
समुद्र-तल से 75 मी ऊँची लाइट-हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण 30^° और 45^° हैं। दोनों जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। (6 अंक)
उत्तर:
• दूरी = 75(√(3) - 1) मी।
अथवा / OR: 10 मी ऊँचे भवन के शिखर से एक केबल टावर के शिखर का उन्नयन कोण 60^° है और इसके पाद का अवनमन कोण 45^° है। टावर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (6 अंक)
हल: टावर की ऊँचाई = 10(√(3) + 1) मी। [अंक: 6]
प्रश्न 5.
60 सेमी ऊँचाई और 30 सेमी त्रिज्या वाला एक ठोस वृत्तीय शंकु 30 सेमी त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर अध्यारोपित है... बेलन में शेष बचे पानी का आयतन ज्ञात कीजिए। (6 अंक)
उत्तर:
आयतन की गणना सूत्र द्वारा।
अथवा / OR: 12 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर 120^° का कोण अन्तरित करती है। वृत्त के संगत वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (π = 3.14, √(3) = 1.732 प्रयोग करें)। (6 अंक)
हल: वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ≈ 88.44 सेमी² [अंक: 6]