Solution

(B) 60

हल: 12 = 2² × 3 तथा 20 = 2² × 5, अतः LCM = 4 × 3 × 5 = 60

(A) 2

हल: शून्यकों का योग = -(गुणांक x)/(गुणांक x²) = -(-2)/(1) = 2

(C) 6

हल: (9)/(3) + (y)/(2) = 6 3 + (y)/(2) = 6 (y)/(2) = 3 y = 6

(A) -3, -2

हल: (x + 3)(x + 2) = 0 x = -3, -2

(A) 83

हल: a = 3, d = 5, n = 17 a₁₇ = a + 16d = 3 + 16(5) = 3 + 80 = 83

(B) ((15)/(2), (5)/(2))

हल: विकर्ण AC का मध्यबिन्दु = ((6+9)/(2), (1+4)/(2)) = ((15)/(2), (5)/(2))

(C) सभी समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं।

(B) 4.0 सेमी

हल: (AD)/(BD) = (AE)/(EC) (2.0)/(BD) = (1.8)/(3.6) (2.0)/(BD) = (1)/(2) BD = 4.0 सेमी।

(C) (12)/(13)

हल: कर्ण AC = √(5² + 12²) = 13 सेमी। A = (BC)/(AC) = (12)/(13)

(A) 1

हल: 4 × (1)/(2) × (1)/(2) = 1

(B) A A

हल: ( A)/( A) + ( A)/( A) = ( ² A + ² A)/( A A) = (1)/( A A) = A A

(C) 2

हल: A = √(1 + ² A) = 1 + (√(3))² = √(4) = 2

(A) 7

हल: 49 = 7², 91 = 7 × 13, अतः HCF = 7

(D) 91

हल: दूसरी संख्या = (182 × 13)/(26) = 91

(C) (3)/(4)

हल: कुल परिणाम = 4. कम से कम एक चित (HH, HT, TH) = 3. प्रायिकता = (3)/(4)

(B) 24

हल: बहुलक = 3(माध्यक) - 2(माध्य) 20 = 3M - 2(26) 3M = 72 M = 24

(A) (4)/(3)π cm²

हल: क्षेत्रफल = (30^°)/(360^°) × π (4)² = (1)/(12) × 16π = (4)/(3)π cm²

(D) 8π cm³

हल: आयतन = (1)/(3)π r² h + (2)/(3)π r³ = (1)/(3)π (2)²(2) + (2)/(3)π (2)³ = (8)/(3)π + (16)/(3)π = (24)/(3)π = 8π cm³

(B) 10-15

हल: कुल आवृत्ति N = 30 N/2 = 15. संचयी बारंबारता (2, 10, 20, ...) के अनुसार माध्यक वर्ग 10-15 है।

(D) 30-40

हल: अधिकतम बारंबारता 8 है, जो वर्ग 30-40 के अंतर्गत है।

खण्ड - 'ब' (वर्णनात्मक प्रश्न)

• माना 2√(2) एक परिमेय संख्या है, अतः 2√(2) = (p)/(q) (p, q सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, q ≠ 0).

• √(2) = (p)/(2q). चूँकि p, q पूर्णांक हैं, (p)/(2q) एक परिमेय संख्या है, जिससे √(2) भी परिमेय सिद्ध होती है, जो कि असत्य है।

• अतः 2√(2) एक अपरिमेय संख्या है। (इति सिद्धम्) [अंक: 2/2]

(ख) बिन्दुओं (-4, 5) और (2, -3) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

• दूरी = √((2 - (-4))² + (-3 - 5)²) = √(6² + (-8)²) = √(36 + 64) = √(100) = 10 इकाई। [अंक: 2/2]

(ग) बिन्दु (-4, 6), बिन्दुओं A(-6, 10) और B(3, -8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को किस अनुपात में विभाजित करता है ?

हल:

• माना अनुपात k:1 है।

• विभाजन सूत्र से: -4 = (3k - 6)/(k + 1) -4k - 4 = 3k - 6 7k = 2 k = (2)/(7)

• अतः अनुपात 2:7 है। [अंक: 2/2]

(घ) सिद्ध कीजिए कि : (2 ³ θ - θ)/( θ - 2 ³ θ) = θ

हल:

• बायां पक्ष (LHS): ( θ(2 ² θ - 1))/( θ(1 - 2 ² θ)) = ( θ(2(1 - ² θ) - 1))/( θ(1 - 2 ² θ))

• = ( θ(1 - 2 ² θ))/( θ(1 - 2 ² θ)) = ( θ)/( θ) = θ = RHS (इति सिद्धम्) [अंक: 2/2]

(ङ) यदि त्रिज्या 10.5 सेमी वाले वृत्त का एक चाप केन्द्र पर 60^° का कोण अन्तरित करता है, तो चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:

• चाप की लंबाई = (θ)/(360^°) × 2π r = (60^°)/(360^°) × 2 × (22)/(7) × 10.5 = (1)/(6) × 2 × (22)/(7) × (21)/(2) = 11 सेमी। [अंक: 2/2]

(च) निम्नांकित बारंबारता सारणी का बहुलक ज्ञात कीजिए :

(10-20: 12, 20-30: 10, 30-40: 15, 40-50: 11, 50-60: 7, 60-70: 5)

हल:

• बहुलक वर्ग = 30-40 (l = 30, f₁ = 15, f₀ = 10, f₂ = 11, h = 10)

• सूत्र: Mode = l + ((f₁ - f₀)/(2f₁ - f₀ - f₂)) × h = 30 + ((15 - 10)/(30 - 10 - 11)) × 10 = 30 + (5)/(9) × 10 = 30 + 5.56 = 35.56 [अंक: 2/2]

• माना PTQ = θ है। TPQ में TP = TQ TPQ = TQP = (180^° - θ)/(2) = 90^° - (θ)/(2)

• त्रिज्या और स्पर्श रेखा के मध्य कोण OPT = 90^° होता है।

• OPQ = OPT - TPQ = 90^° - (90^° - (θ)/(2)) = (θ)/(2) θ = 2 OPQ (इति सिद्धम्) [अंक: 4/4]

(ख) चित्र में ABCD एक समलंब है जिसमें AB DC है। असमांतर भुजाओं AD और BC पर क्रमशः बिन्दु E तथा F इस प्रकार स्थित हैं कि EF भुजा AB के समांतर है। सिद्ध कीजिए कि (AE)/(ED) = (BF)/(FC)

हल:

• विकर्ण AC को मिलाइए जो EF को बिंदु G पर प्रतिच्छेद करता है।

• ADC में EG DC (AE)/(ED) = (AG)/(GC) (थेल्स प्रमेय से)

• CAB में GF AB (AG)/(GC) = (BF)/(FC)

• अतः (AE)/(ED) = (BF)/(FC) (इति सिद्धम्) [अंक: 4/4]

(ग) एक पासे को दो बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि:

i) 6 किसी भी बार नहीं आयेगा ?

ii) 6 कम से कम एक बार आएगा ?

हल:

i) 6 न आने की प्रायिकता =(5)/(6) × (5)/(6) = (25)/(36)

ii) 6 कम से कम एक बार आने की प्रायिकता = 1 - (25)/(36) = (11)/(36) [अंक: 4/4]

(घ) निम्नांकित आंकड़ों का माध्यक ज्ञात कीजिए :

(0-5: 2, 5-10: 3, 10-15: 8, 15-20: 15, 20-25: 14, 25-30: 8)

हल:

• कुल आवृत्ति N = 50 N/2 = 25. संचयी बारंबारताएँ: 2, 5, 13, 28, 42, 50.

• माध्यक वर्ग = 15-20 (l = 15, cf = 13, f = 15, h = 5)

• Median = l + ((N/2 - cf)/(f)) × h = 15 + ((25 - 13)/(15)) × 5 = 15 + (12)/(3) = 15 + 4 = 19 [अंक: 4/4]

(ङ) किसी A.P. में प्रथम और अन्तिम पद क्रमशः 8 और 341 हैं। यदि सार्व अन्तर 9 है, तो इसमें पदों की संख्या तथा उनका योग ज्ञात कीजिए।

हल:

• a = 8, l = 341, d = 9

• l = a + (n-1)d 341 = 8 + (n-1)9 333 = 9(n-1) n-1 = 37 n = 38

• योग S₃₈ = (n)/(2)(a + l) = (38)/(2)(8 + 341) = 19 × 349 = 6631 [अंक: 4/4]

(च) निम्नांकित रैखिक समीकरण युग्म को हल कीजिए :

3x - 5y = 4, 9x = 2y + 7

हल:

• समीकरण 1: 3x - 5y = 4

• समीकरण 2: 9x - 2y = 7

• समीकरण 1 को 3 से गुणा करने पर: 9x - 15y = 12

• घटाने पर: (9x - 15y) - (9x - 2y) = 12 - 7 -13y = 5 y = -(5)/(13)

• 3x = 4 + 5(-(5)/(13)) = 4 - (25)/(13) = (27)/(13) x = (9)/(13) [अंक: 4/4]

• माना इकाई का अंक y तथा दहाई का अंक x है। प्रश्ناनुसार x = y + 6.

• संख्या = 10x + y, पलटने पर बनी संख्या = 10y + x.

• योग: (10x + y) + (10y + x) = 110 11(x + y) = 110 x + y = 10

• (y + 6) + y = 10 2y = 4 y = 2, अतः x = 2 + 6 = 8.

• संख्या = 82

अथवा / OR: एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई उसके आधार से 35 सेमी कम है। यदि कर्ण 65 सेमी हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए। (6 अंक)

हल:

• माना आधार = x सेमी, ऊँचाई = x - 35 सेमी, कर्ण = 65 सेमी।

• पाइथागोरस प्रमेय से: x² + (x - 35)² = 65² x² + x² - 70x + 1225 = 4225 2x² - 70x - 3000 = 0 x² - 35x - 1500 = 0

• (x - 60)(x + 25) = 0 x = 60 (धनात्मक मान लेने पर)

• आधार = 60 सेमी, ऊँचाई = 60 - 35 = 25 सेमी। [अंक: 6/6]

• माना बहुमंजिल भवन की ऊँचाई H, छोटे भवन की ऊँचाई 6 मी., तथा दोनों के बीच की दूरी x है।

• 60^° = (H)/(x) x = H√(3)

• 30^° = (H - 6)/(x) x = (H - 6)√(3)

• H√(3) = (H - 6)√(3) H = 3(H - 6) 2H = 18 H = 9 मी.

• दूरी x = 9√(3) = 3√(3) मी.

अथवा / OR: एक 60 मी. चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमने सामने समान ऊँचाई वाले दो खंभे लगे हैं। इन दोनों खंभों के बीच सड़क के एक बिन्दु से खंभों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 30^° और 60^° हैं। खंभों की ऊँचाई और खंभों से बिन्दु की दूरियाँ ज्ञात कीजिए। (6 अंक)

हल:

• माना खंभों की ऊँचाई h है। सड़क की चौड़ाई 60 मी है। मान लीजिए बिंदु की दूरी एक खंभे से x है, तो दूसरे से (60 - x) है।

• (h)/(x) = 30^° = 1√(3) h = x√(3)

• (h)/(60 - x) = 60^° = √(3) h = (60 - x)√(3)

• x√(3) = (60 - x)√(3) x = 3(60 - x) 4x = 180 x = 45 मी.

• दूसरे खंभे से दूरी = 60 - 45 = 15 मी.

• ऊँचाई h = 45√(3) = 15√(3) मी. [अंक: 6/6]

• त्रिज्या r = 14 सेमी, θ = 60^°

• लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (60^°)/(360^°) × (22)/(7) × 14 × 14 = (308)/(3) = 102.67 सेमी²

• AOB का क्षेत्रफल = √(3)4 r² = √(3)4 × 196 = 49√(3) ≈ 49 × 1.732 = 84.87 सेमी²

• लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = 102.67 - 84.87 = 17.8 सेमी²

• दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल = π r² - 17.8 = (22)/(7) × 196 - 17.8 = 616 - 17.8 = 598.2 सेमी²

अथवा / OR: एक ठोस, एक लंबवृत्तीय बेलन पर खड़े एक शंकु के आकार का है, जिनकी त्रिज्याएँ 7.5 सेमी हैं तथा शंकु की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर है। यदि ठोस की कुल ऊँचाई 22.5 सेमी हो, तो ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए। (π = 3.14, √(3) = 1.732 प्रयोग कीजिए) (6 अंक)

हल:

• त्रिज्या r = 7.5 सेमी, शंकु की ऊँचाई h_cone = 7.5 सेमी।

• बेलन की ऊँचाई h_cyl = 22.5 - 7.5 = 15 सेमी।

• ठोस का आयतन = बेलन का आयतन + शंकु का आयतन

• = π r² h_cyl + (1)/(3)π r² h_cone = π (7.5)² (15 + (7.5)/(3)) = 3.14 × 56.25 × (15 + 2.5) = 3.14 × 56.25 × 17.5 = 3090.94 सेमी³ [अंक: 6/6]