Solution

(C) 3

हल: किसी भी त्रिघात बहुपद के अधिकतम शून्यकों की संख्या उसकी घात (3) के बराबर होती है।

(C) 8

हल: 24 = 8 × 3 तथा 40 = 8 × 5, अतः महत्तम समापवर्तक (HCF) 8 है।

(B) 75

हल: LCM × HCF = पहली संख्या × दूसरी संख्या LCM × 5 = 15 × 25 LCM = (375)/(5) = 75

(A) 25:6

हल: 3(3x + 5y) = 7(3x - 5y) 9x + 15y = 21x - 35y 50y = 12x (x)/(y) = (50)/(12) = (25)/(6)

(D) √(2)

(C) (2)/(3)

हल: दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: (2)/(x) = 3 x = (2)/(3)

(A) ± 8

हल: x² = 64 x = ± 8

(C) तीसरी भुजा के समांतर

(D) 8 सेमी

हल: त्रिज्या = √(17² - 15²) = √(289 - 225) = √(64) = 8 सेमी।

(C) (5, -6)

हल: मध्यबिन्दु = ((3+7)/(2), (-7+(-5))/(2)) = (5, -6)

(A) 2³ × 3²

हल: 72 = 8 × 9 = 2³ × 3²

(B) 45^°

(A) ² A

हल: ( ² A)/( ² A) = (1/ ² A)/(1/ ² A) = ( ² A)/( ² A) = ² A

(D) 1

हल: (1 + ² θ) = ² θ तथा (1 + θ)(1 - θ) = 1 - ² θ = ² θ; अतः ² θ · ² θ = 1

(C) (π)/(4) × 12.25 cm²

हल: चतुर्थांश का क्षेत्रफल = (1)/(4)π r² = (1)/(4)π (3.5)² = (π)/(4) × 12.25

(B) (2π r)/(9) सेमी

हल: चाप की लंबाई = (40^°)/(360^°) × 2π r = (1)/(9) × 2π r = (2π r)/(9) सेमी।

(A) (1)/(2)

हल: सम संख्याएँ \2, 4, 6 (कुल 3), प्रायिकता = (3)/(6) = (1)/(2)

(C) 15-20

हल: अधिकतम बारंबारता 12 है, जो वर्ग अंतराल 15-20 के अंतर्गत है।

(A) (1)/(6)

हल: द्विक परिणाम = \(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) 6. कुल परिणाम = 36. प्रायिकता = (6)/(36) = (1)/(6)

(C) 20-30

हल: कुल आवृत्ति N = 31 N/2 = 15.5. संचयी बारंबारता के आधार पर माध्यक वर्ग 20-30 है।

खण्ड - 'ब' (वर्णनात्मक प्रश्न)

• त्रिज्या r = 21 सेमी, कोण θ = 60^°

• क्षेत्रफल = (θ)/(360^°) × π r² = (60^°)/(360^°) × (22)/(7) × 21 × 21 = (1)/(6) × 22 × 3 × 21 = 231 सेमी² [अंक: 2/2]

(ख) यदि 2 ² 45^° - 1 = θ हो, तो θ का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

• 2( 1√(2))² - 1 = θ 2((1)/(2)) - 1 = θ 1 - 1 = θ θ = 0 θ = 90^° [अंक: 2/2]

(ग) सिद्ध कीजिए कि 2√(3) एक अपरिमेय संख्या है।

हल:

• माना 2√(3) एक परिमेय संख्या है, अतः 2√(3) = (p)/(q) (जहाँ p, q सह-अभाज्य पूर्णांक हैं और q ≠ 0).

• √(3) = (p)/(2q). चूकि p, q पूर्णांक हैं, (p)/(2q) एक परिमेय संख्या होगी, जिससे √(3) भी परिमेय सिद्ध होती है जो कि सत्य नहीं है।

• अतः 2√(3) एक अपरिमेय संख्या है। (इति सिद्धम्) [अंक: 2/2]

(घ) बिन्दु (3,5) की x-अक्ष से दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

• किसी बिन्दु (x, y) की x-अक्ष से दूरी उसका y-निर्देशांक होता है। अतः दूरी = 5 इकाई। [अंक: 2/2]

(ङ) निम्नलिखित सारणी से माध्य ज्ञात कीजिए :

(वर्ग-अंतराल: 0-5 (3), 5-10 (10), 10-15 (14), 15-20 (8), 20-25 (5))

हल:

• मध्यमान (x_i): 2.5, 7.5, 12.5, 17.5, 22.5

• f_i x_i: 7.5, 75, 175, 140, 112.5

• Σ f_i = 40, Σ f_i x_i = 510

• माध्य = (Σ f_i x_i)/(Σ f_i) = (510)/(40) = 12.75 [अंक: 2/2]

(च) बिंदुओं (-3, 10) और (5, 4) को मिलानेवाले रेखाखण्ड के मध्यबिंदु का निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल:

• मध्यबिन्दु = ((-3 + 5)/(2), (10 + 4)/(2)) = ((2)/(2), (14)/(2)) = (1, 7) [अंक: 2/2]

• Sₙ = 3n² + 4n

• S₂₅ = 3(25)² + 4(25) = 1875 + 100 = 1975

• S₂₄ = 3(24)² + 4(24) = 1728 + 96 = 1824

• 25 वाँ पद a₂₅ = S₂₅ - S₂₄ = 1975 - 1824 = 151 [अंक: 4/4]

(ख) दो क्रमागत विषम पूर्णांकों के वर्गों का योगफल 394 है। संख्याएं ज्ञात कीजिए।

हल:

• माना संख्याएँ x और x+2 हैं।

• x² + (x+2)² = 394 2x² + 4x - 390 = 0 x² + 2x - 195 = 0

• (x + 15)(x - 13) = 0 x = 13 (धनात्मक मान लेने पर)

• अतः संख्याएँ 13 और 15 हैं। [अंक: 4/4]

(ग) संख्याओं 1, 2, 3 एवं 4 में से एक संख्या 'x' यादृच्छया चुनी जाती है, संख्याओं 1, 4, 9 एवं 16 में से एक दूसरी संख्या 'y' यादृच्छया चुनी जाती है। दोनों संख्याओं x और y का गुणनफल 16 से कम होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल:

• कुल संभव युग्म = 4 × 4 = 16

• xy < 16 वाले अनुकूल युग्म: (1,1), (1,4), (1,9), (2,1), (2,4), (3,1), (3,4), (4,1) → कुल 8 युग्म।

• प्रायिकता = (8)/(16) = (1)/(2) [अंक: 4/4]

(घ) सिद्ध कीजिए कि, वृत्त के बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है!

हल:

• बाह्य बिंदु P से केंद्र O वाले वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ PA और PB हैं। OAP और OBP में:

- OAP = OBP = 90^° (त्रिज्या और स्पर्श रेखा के बीच का कोण)

- OA = OB (त्रिज्याएँ)

- OP = OP (उभनिष्ठ कर्ण)

• RHS सर्वांगसमता से OAP OBP PA = PB (इति सिद्धम्) [अंक: 4/4]

(ङ) सिद्ध कीजिए कि, किसी वृत्त के परिगत समांतर चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है!

हल:

• बाह्य बिंदु से स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं: AP=AS, BP=BQ, CQ=CR, DR=DS

• जोड़ने पर: AB + CD = AD + BC. समांतर चतुर्भुज होने के कारण AB=CD तथा AD=BC, अतः 2AB = 2AD AB = AD.

• अतः यह एक समचतुर्भुज है। (इति सिद्धम्) [अंक: 4/4]

(च) दी गई सारणी का समांतर माध्य 25 है, तो f का मान ज्ञात कीजिए :

(0-10: f, 10-20: 6, 20-30: 10, 30-40: 6, 40-50: 5)

हल:

• मध्यमान (x_i): 5, 15, 25, 35, 45

• f_i x_i: 5f, 90, 250, 210, 225 5f + 775

• Σ f_i = f + 27

• माध्य = (5f + 775)/(f + 27) = 25 5f + 775 = 25f + 675 20f = 100 f = 5 [अंक: 4/4]

• माना बड़ी संख्या x तथा छोटी संख्या y है।

• x² - y² = 180 तथा y² = 8x

• x² - 8x - 180 = 0 (x - 18)(x + 10) = 0 x = 18 (x > 0)

• y² = 8(18) = 144 y = ± 12

• अतः संख्याएँ 18 और 12 (या 18 और -12) हैं।

अथवा / OR: दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 m² है। यदि उनके परिमापों का अन्तर 24 m हो, तो दोनों वर्गों की भुजाएं ज्ञात कीजिए। (6 अंक)

हल:

• माना बड़े वर्ग की भुजा x तथा छोटे वर्ग की भुजा y है।

• 4x - 4y = 24 x - y = 6 x = y + 6

• x² + y² = 468 (y+6)² + y² = 468 2y² + 12y - 432 = 0 y² + 6y - 216 = 0

• (y + 18)(y - 12) = 0 y = 12 (भुजा धनात्मक होती है)

• x = 12 + 6 = 18

• अतः वर्गों की भुजाएँ 18 m और 12 m हैं। [अंक: 6/6]

• (A + B) = √(3) A + B = 60^° --- (1)

• (A - B) = 1√(3) A - B = 30^° --- (2)

• समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर: 2A = 90^° A = 45^°

• समीकरण (2) को (1) से घटाने पर: 2B = 30^° B = 15^°

• अतः A = 45^° और B = 15^°

अथवा / OR: एक मीनार के पादबिंदु से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30^° है और भवन के पादबिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60^° है। यदि मीनार की ऊँचाई 50 मीटर हो, तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (6 अंक)

हल:

• माना मीनार की ऊँचाई CD = 50 m, भवन की ऊँचाई AB = h, तथा दोनों के बीच की दूरी BC = x है।

• ABC में: 30^° = (h)/(x) 1√(3) = (h)/(x) x = h√(3)

• DCB में: 60^° = (50)/(x) √(3) = (50)/(x) x = 50√(3)

• h√(3) = 50√(3) 3h = 50 h = (50)/(3) = 16.67 मीटर। [अंक: 6/6]

• त्रिज्या r = (4)/(2) = 2 m, बेलन की ऊँचाई h = 2.1 m, शंकु की तिर्यक ऊँचाई l = 2.8 m

• कैनवास का क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठ + शंकु का वक्र पृष्ठ

• = 2π r h + π r l = π r(2h + l) = (22)/(7) × 2 × (2(2.1) + 2.8) = (22)/(7) × 2 × 7 = 44 m²

अथवा / OR: एक ठोस एक अर्धगोले पर खड़े एक शंकु के आकार का है जिसकी त्रिज्याएं 1 सेमी हैं तथा शंकु की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर है। इस ठोस का आयतन π के पदों में ज्ञात कीजिए। (6 अंक)

हल:

• त्रिज्या r = 1 सेमी, शंकु की ऊँचाई h = 1 सेमी।

• ठोस का आयतन = शंकु का आयतन + अर्धगोले का आयतन

• = (1)/(3)π r² h + (2)/(3)π r³ = (1)/(3)π (1)²(1) + (2)/(3)π (1)³ = (1)/(3)π + (2)/(3)π = π सेमी³ [अंक: 6/6]