Solution

(C) 2

हल: किसी भी द्विघात बहुपद के अधिकतम शून्यकों की संख्या उसकी घात (2) के बराबर होती है।

(C) 2² × 3²

हल: 36 = 4 × 9 = 2² × 3²

(D) 182

हल: LCM × HCF = पहली संख्या × दूसरी संख्या LCM × 13 = 26 × 91 LCM = (26 × 91)/(13) = 182

(C) 30

हल: 150 = 30 × 5 तथा 210 = 30 × 7, अतः महत्तम समापवर्तक 30 है।

(A) 2

हल: x = -a रखने पर: 2(-a)² + 2a(-a) + 5(-a) + 10 = 0 2a² - 2a² - 5a + 10 = 0 5a = 10 a = 2

(D) 4

हल: a = 6 रखने पर: (6)/(3) - (b)/(4) = 1 2 - (b)/(4) = 1 (b)/(4) = 1 b = 4

(B) -6, 5

हल: x + 6 = 0 x = -6 और x - 5 = 0 x = 5

(C) 2

(B) 9.3 सेमी

हल: (AD)/(AB) = (DE)/(BC) (2.1)/(2.1 + 4.2) = (3.1)/(BC) (2.1)/(6.3) = (3.1)/(BC) (1)/(3) = (3.1)/(BC) BC = 9.3 सेमी।

(A) -9, 3

हल: दूरी सूत्र से: √((10-2)² + (y - (-3))²) = 10 64 + (y+3)² = 100 (y+3)² = 36 y+3 = ± 6 y = 3, -9

(B) (25)/(24)

हल: A = √(1 + ² A) = √(1 + (49)/(576)) = √((625)/(576)) = (25)/(24)

(A) 1

हल: (2(1))/(1 + 1²) = (2)/(2) = 1

(C) ² A

हल: (1)/( A) · (1)/( A) · ( A)/( A) = (1)/( ² A) = ² A

(A) 1

हल: (1)/(1 + ² θ) = ² θ, अतः ² θ + ² θ = 1

(D) 22 सेमी

हल: चाप की लंबाई = (θ)/(360^°) × 2π r = (60^°)/(360^°) × 2 × (22)/(7) × 21 = (1)/(6) × 132 = 22 सेमी।

(C) 160 सेमी²

हल: घनाभ की विमाएँ: लम्बाई l = 8 सेमी, चौड़ाई b = 4 सेमी, ऊँचाई h = 4 सेमी।

सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl) = 2(8 × 4 + 4 × 4 + 4 × 8) = 2(32 + 16 + 32) = 160 सेमी²

(A) (1)/(13)

(B) 2

हल: बहुलक = 3 माध्यिका - 2 माध्य 2 माध्य = 3 माध्यिका - बहुलक माध्य = (3 माध्यिका - बहुलक)/(2)

(D) 30-35

हल: अधिकतम बारंबारता 10 है, जो वर्ग अंतराल 30-35 के अंतर्गत आती है।

(B) (1)/(6)

हल: योग 7 वाले अनुकूल परिणाम = \(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) 6. कुल परिणाम = 36. प्रायिकता = (6)/(36) = (1)/(6)

खण्ड - 'ब' (वर्णनात्मक प्रश्न)

• a₁₇ = a₁₀ + 7

• a + 16d = (a + 9d) + 7

• 16d - 9d = 7 7d = 7 d = 1 [अंक: 4/4]

(ख) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योगफल 365 हो।

हल:

• माना संख्याएँ x और x+1 हैं।

• x² + (x+1)² = 365 2x² + 2x + 1 = 365 2x² + 2x - 364 = 0 x² + x - 182 = 0

• (x+14)(x-13) = 0 x = 13 (धनात्मक होने के कारण)

• अतः संख्याएँ 13 और 14 हैं। [अंक: 4/4]

(ग) यदि दो पाँसे एक साथ फेंके जाते हैं, तो दोनों पाँसों की संख्याओं का योगफल 7 से छोटा होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल:

• कुल संभव परिणाम = 36

• 7 से छोटे योग वाले परिणाम (योग 2, 3, 4, 5, 6):

- योग 2: (1,1) [1]

- योग 3: (1,2), (2,1) [2]

- योग 4: (1,3), (2,2), (3,1) [3]

- योग 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) [4]

- योग 6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) [5]

• अनुकूल परिणामों की कुल संख्या = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

• प्रायिकता = (15)/(36) = (5)/(12) [अंक: 4/4]

(घ) चित्र में, केन्द्र का कोण BOC = 110^°, AB तथा AC वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं। OAB का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

• स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लम्ब होती है, अतः OBA = 90^° और OCA = 90^°

• चतुर्भुज ABOC में, A + B + C + BOC = 360^° A + 90^° + 90^° + 110^° = 360^° A = 70^°

• OAB = (1)/(2) A = (70^°)/(2) = 35^° [अंक: 4/4]

(ङ) एक वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज ABCD खींचा गया है तो सिद्ध कीजिए कि AB + CD = AD + BC

हल:

• बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ बराबर होती हैं।

• AP = AS, BP = BQ, CQ = CR, DR = DS

• चारों समीकरणों को जोड़ने पर: (AP + BP) + (CR + DR) = (AS + DS) + (BQ + CQ) AB + CD = AD + BC (इति सिद्धम्) [अंक: 4/4]

(च) दिए गए आंकड़ों का माध्यक ज्ञात कीजिए :

(वर्ग अंतराल: 0-10 (6), 10-20 (10), 20-30 (14), 30-40 (10), 40-50 (8))

हल:

• कुल बारंबारता N = 48 N/2 = 24

• संचयी बारंबारताएँ: 6, 16, 30, 40, 48. माध्यक वर्ग = 20-30

• सूत्र: Median = l + ((N/2 - cf)/(f)) × h = 20 + ((24 - 16)/(14)) × 10 = 20 + (80)/(14) = 20 + 5.71 = 25.71 [अंक: 4/4]

• माना आधार = x सेमी, ऊँचाई = x - 7 सेमी।

• पाइथागोरस प्रमेय से: x² + (x-7)² = 13² x² + x² - 14x + 49 = 169 2x² - 14x - 120 = 0 x² - 7x - 60 = 0

• (x-12)(x+5) = 0 x = 12 सेमी (ऋणात्मक मान अमान्य)

• अतः आधार = 12 सेमी तथा ऊँचाई = 12 - 7 = 5 सेमी।

अथवा / OR: ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योगफल 27 तथा गुणनफल 182 है।

हल:

• माना संख्याएँ x और 27 - x हैं।

• x(27 - x) = 182 27x - x² = 182 x² - 27x + 182 = 0

• (x - 13)(x - 14) = 0 x = 13 या x = 14

• अतः संख्याएँ 13 और 14 हैं। [अंक: 6/6]

• बायां पक्ष (LHS): (( A)/( A))/(1 - ( A)/( A)) + (( A)/( A))/(1 - ( A)/( A)) = ( ² A)/( A( A - A)) - ( ² A)/( A( A - A))

• = ( ³ A - ³ A)/( A A ( A - A)) = (( A - A)( ² A + ² A + A A))/( A A ( A - A))

• = (1 + A A)/( A A) = (1)/( A A) + 1 = 1 + A A = RHS (इति सिद्धम्)

अथवा / OR: यदि θ + θ = P है, तो सिद्ध कीजिए θ = (P² - 1)/(P² + 1)

हल:

• (P² - 1)/(P² + 1) = (( θ + θ)² - 1)/(( θ + θ)² + 1) = ( ² θ + ² θ + 2 θ θ - 1)/( ² θ + ² θ + 2 θ θ + 1)

• ² θ - 1 = ² θ रखने पर अंश = 2 ² θ + 2 θ θ = 2 θ( θ + θ)

• 1 + ² θ = ² θ रखने पर हर = 2 ² θ + 2 θ θ = 2 θ( θ + θ)

• अनुपात = (2 θ( θ + θ))/(2 θ( θ + θ)) = ( θ)/( θ) = θ = RHS (इति सिद्धम्) [अंक: 6/6]

• बेलन का व्यास = 5 मिमी त्रिज्या r = 2.5 मिमी।

• बेलन की ऊँचाई h = 14 - 2(2.5) = 14 - 5 = 9 मिमी।

• कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + 2 × (अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल)

• = 2π r h + 2(2π r²) = 2π r(h + 2r) = 2 × (22)/(7) × 2.5 × (9 + 5) = 2 × (22)/(7) × (5)/(2) × 14 = 220 मिमी²

अथवा / OR: ऊँचाई 2.4 सेमी और व्यास 1.4 सेमी वाले एक ठोस बेलन में इसी ऊंचाई एवं व्यास वाला एक शंकवाकार खोल काट लिया जाता है। शेष बचे ठोस का निकटतम वर्ग सेमी तक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

• ऊँचाई h = 2.4 सेमी, त्रिज्या r = 0.7 सेमी। शंकु की तिर्यक ऊँचाई l = √(r² + h²) = √((0.7)² + (2.4)²) = √(6.25) = 2.5 सेमी।

• शेष ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठ + बेलन का आधार क्षेत्रफल + शंकु का वक्र पृष्ठ

• = 2π r h + π r² + π r l = π r (2h + r + l) = (22)/(7) × 0.7 × (4.8 + 0.7 + 2.5) = (22)/(7) × 0.7 × 8.0 = 17.6 सेमी² ≈ 18 सेमी² (निकटतम मान) [अंक: 6/6]