Solution

(C) √(75)

व्याख्या: √(36) = 6, √(81) = 9, और √(64) = 8 ये सभी परिमेय संख्याएँ हैं, जबकि √(75) = 5√(3) एक अपरिमेय संख्या है.

(A) 1024

व्याख्या: (256)^(5/4) = (4⁴)^(5/4) = 4⁵ = 1024.

(C) 2

व्याख्या: x + 1 = 0 x = -1 रखने पर 2(-1)² + k(-1) = 0 2 - k = 0 k = 2.

(B) (x-6)(x+1)

व्याख्या: x² - 6x + x - 6 = x(x-6) + 1(x-6) = (x-6)(x+1).

(A) (0,0)

व्याख्या: कार्तीय तल में मूल बिंदु के निर्देशांक हमेशा (0,0) होते हैं.

(B) द्वितीय चतुर्थांश

व्याख्या: जहाँ x ऋणात्मक (-3) और y धनात्मक (+5) हो, वह द्वितीय चतुर्थांश होता है.

(C) x + y = 7

व्याख्या: x = 5 और y = 2 रखने पर 5 + 2 = 7 होता है.

(D) -4

व्याख्या: 2(3) + 5(-2) = 6 - 10 = -4.

(C) यूनान

व्याख्या: प्रसिद्ध गणितज्ञ थेल्स प्राचीन यूनान (Greece) के निवासी थे.

(B) माध्यिका

व्याख्या: त्रिभुज के शीर्ष को सम्मुख भुजा के मध्यबिंदु से मिलाने वाली रेखा माध्यिका (Median) कहलाती है.

(C) 80^(°)

व्याख्या: अनुपात का योग = 9, सबसे बड़ा कोण = (4)/(9) × 180^(°) = 80^(°).

(C) 50^(°)

व्याख्या: A = C, अतः 2 A + 80^(°) = 180^(°) A = 50^(°).

(B) AC = DE

व्याख्या: भुजा AB और AC के अंतर्गत कोण A है, तथा FD और DE के अंतर्गत कोण D है.

(B) समान

व्याख्या: आयत के दोनों विकर्ण लंबाई में आपस में बराबर होते हैं.

(A) बराबर

व्याख्या: समांतर चतुर्भुज के आमने-सामने के कोण समान होते हैं.

(B) समकोण

व्याख्या: अर्धवृत्त की परिधि पर बना कोण हमेशा 90^(°) (समकोण) होता है.

(B) 20^(°)

व्याख्या: एक ही वृत्तखंड में बने कोण आपस में बराबर होते हैं.

(B) 6a²

व्याख्या: घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 6 × (\भुजा)² होता है.

(C) 184 सेमी²

व्याख्या: सम्पूर्ण पृष्ठ = 2(lb + bh + hl) = 2(4×5 + 5×8 + 8×4) = 2(20 + 40 + 32) = 184 सेमी².

(B) 15

व्याख्या: संख्या 15 यहाँ सबसे अधिक 5 बार आई है, अतः बहुलक 15 है.

खण्ड (ब) वर्णनात्मक प्रश्न

(i) माना x = 0.666... --- (1)

10 से गुणा करने पर: 10x = 6.666... --- (2)

(2) में से (1) घटाने पर: 9x = 6 x = (6)/(9) = (2)/(3)

(ii) माना x = 0.4777...

10x = 4.777...

100x = 47.777...

100x - 10x = 47.777 - 4.777 90x = 43 x = (43)/(90).

(ख) यदि बहुपद x³ + 5x² - kx - 12 को (x + 1) से भाग दिया तो पूर्णतया विभाजित हो जाता है तो k का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

शेषफल प्रमेय के अनुसार, x + 1 = 0 x = -1 रखने पर मान शून्य होना चाहिए।

(-1)³ + 5(-1)² - k(-1) - 12 = 0

-1 + 5(1) + k - 12 = 0

-1 + 5 + k - 12 = 0

-8 + k = 0 k = 8.

(ग) सर्वसमिका के प्रयोग से मान बताइए:

(i) 102 × 103

(ii) 104 × 96

उत्तर:

(i) (100 + 2)(100 + 3) = 100² + (2 + 3)100 + (2 × 3) = 10000 + 500 + 6 = 10506

(ii) (100 + 4)(100 - 4) = 100² - 4² = 10000 - 16 = 9984.

(घ) यदि बिन्दु (2x + 3, y - 4) = (7, 5) है तो x, y के मान बताइए।

उत्तर:

संगत घटकों की तुलना करने पर:

2x + 3 = 7 2x = 4 x = 2

y - 4 = 5 y = 9.

(ङ) रैखिक समीकरण 3x - y = 6 का आलेख खींचिए।

उत्तर:

• जब x = 0, तो -y = 6 y = -6 (बिंदु (0, -6))

• जब y = 0, तो 3x = 6 x = 2 (बिंदु (2, 0))

इन दोनों बिंदुओं को ग्राफ पेपर पर मिलाकर रेखा खींचते हैं.

(च) रेखा XY तथा MN परस्पर O बिन्दु पर काटती हैं तथा POY = 90^(°) तथा a : b = 2 : 3 है तो c का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

POY = 90^(°) दिया है। रेखा XY पर रेखीय युग्म से:

a + b + POY = 180^(°)

a + b = 90^(°)

चूंकि a : b = 2 : 3 है, माना a = 2x, b = 3x

5x = 90^(°) x = 18^(°)

अतः a = 36^(°), b = 54^(°)

रेखाओं के प्रतिच्छेद से c और b रैखिक युग्म बनाते हैं या शीर्षाभिमुख कोणों से हल किया जाता है.

यह रेखाओं और कोणों से संबंधित एक मौलिक प्रमेय है, जिसमें त्रिभुज के एक शीर्ष से होकर जाने वाली समांतर रेखा खींचकर एकांतर अंतः कोणों के गुणधर्म से सिद्ध किया जाता है कि A + B + C = 180^(°).

(ख) संलग्न चित्र में AC = AE तथा AB = AD और BAD = EAC है, तो सिद्ध कीजिए कि BC = DE है।

उत्तर:

दिया है BAD = EAC. दोनों पक्षों में DAC जोड़ने पर BAC = DAE मिलता है।

अब ABC और ADE में:

AB = AD, AC = AE और BAC = DAE

SAS सर्वांगसमता नियम से ABC ADE, अतः CPCTC द्वारा BC = DE (इतिसिद्धम्).

(ग) सिद्ध कीजिए कि वर्ग के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित होते हैं तथा बराबर लम्बाई के होते हैं।

उत्तर:

वर्ग की भुजाओं और सर्वांगसम त्रिभुजों ( AOB और COD आदि) का प्रयोग करके यह सिद्ध किया जाता है कि इसके विकर्ण बराबर होते हैं और एक-दूसरे को 90^(°) पर काटते हैं.

(घ) सिद्ध कीजिए कि एक ही वृत्तखण्ड में बने कोण बराबर होते हैं।

उत्तर:

वृत्त के केंद्र पर बना कोण परिधि पर बने कोण का दुगुना होता है, इस प्रमेय की सहायता से एक ही वृत्तखंड के सभी कोण आपस में बराबर सिद्ध किए जाते हैं.

(ङ) यदि a + b + c = 0 है तो सिद्ध कीजिए कि (a²)/(bc) + (b²)/(ca) + (c²)/(ab) = 3

उत्तर:

लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने पर:

(a³ + b³ + c³)/(abc)

चूंकि a + b + c = 0 हो, तो बीजगणितीय सर्वसमिका के अनुसार a³ + b³ + c³ = 3abc होता है।

मान रखने पर: (3abc)/(abc) = 3 (इतिसिद्धम्).

(च) एक शंकु की ऊँचाई 15 सेमी है यदि उसका आयतन 1570 सेमी³ है तो आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जबकि π = 3.14 है।

उत्तर:

शंकु का आयतन = (1)/(3)π r² h = 1570

(1)/(3) × 3.14 × r² × 15 = 1570

3.14 × 5 × r² = 1570

15.7 × r² = 1570

r² = (1570)/(15.7) = 100 r = 10 सेमी.

(अथवा भाग):

• POQ एक सरल रेखा है, अतः रेखीय युग्म के अनुसार:

a + b = 180^(°) --- (1)

• दिया है: 3a - b = 80^(°) --- (2)

समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:

(a + b) + (3a - b) = 180^(°) + 80^(°)

4a = 260^(°) a = 65^(°)

मान समीकरण (1) में रखने पर:

65^(°) + b = 180^(°) b = 180^(°) - 65^(°) = 115^(°).

(पहला भाग):

हम जानते हैं कि:

a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)

साथ ही, (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

5² = a² + b² + c² + 2(10)

25 = a² + b² + c² + 20 a² + b² + c² = 5

अब सूत्र में मान रखने पर:

= (5) [5 - 10]

= 5 × (-5) = -25 (इतिसिद्धम्).

(अथवा भाग):

(i) 6x² + 5x - 6

= 6x² + 9x - 4x - 6

= 3x(2x + 3) - 2(2x + 3)

= (3x - 2)(2x + 3)

(ii) (x²)/(4) - (9y²)/(16)

= ((x)/(2))² - ((3y)/(4))²

= ((x)/(2) + (3y)/(4))((x)/(2) - (3y)/(4))

(iii) 216x³ + 343y³

= (6x)³ + (7y)³

= (6x + 7y) [(6x)² - (6x)(7y) + (7y)²]

= (6x + 7y) (36x² - 42xy + 49y²)